נוסחת ברהמגופטה

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברהמגופטה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.

נוסחה

שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( $s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$) הוא:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:

$K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.$

$K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot$

הוכחה

דיאגרמה להוכחה

אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה. מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,

$K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.$

מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-

$K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

ומכאן:

$K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A$

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,$

ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז

$p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,$

ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן

$2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,$

אז

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.$

ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז

$[2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,$

ולאחר מכנה משותף,

$=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,$

ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל

$16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,$

נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:

$K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.$

הכללות

ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos²(180° − θ) = cos² θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:

$abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,$

קישורים חיצוניים

• נוסחת ברהמגופטה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת ברהמגופטה29790479