תרבוע הפרבולה

תרבוע הפרבולה (יוונית: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) הוא חיבור על גאומטריה, שנכתב על־ידי ארכימדס במאה ה-3 לפנה"ס. כשהוא נכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס, העבודה מכילה 24 טענות בנוגע לפרבולות, ותוצאת הכתר שלה היא ההוכחה שהשטח של מקטע פרבולי (השטח התחום על־ידי פרבולה וקו ישר) שווה ${\tfrac {4}{3}}$ פעמים שטחו של משולש חסום מסוים.

הניסוח של הבעיה נעזר בשיטת המיצוי. ארכימדס חילק את השטח התחום לאינסוף משולשים אשר שטחיהם יוצרים סדרה הנדסית. הוא מחשב את הסכום של ההטור ההנדסי המתקבל, ומוכיח שזהו השטח של המקטע הפרבולי. זה מייצג את אחד השימושים המתוחכמים ביותר בשיטת המיצוי במתמטיקה של העת העתיקה, ונשאר כזה עד הפיתוח של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17, אז הוחלף בידי עקרון קאוואליירי.

המשפט המרכזי

מקטע פרבולי הוא האזור התחום על־ידי פרבולה וישר. כדי למצוא את שטחו של מקטע פרבולי, ארכימדס בונה משולש חסום מסוים. הבסיס של המשולש הזה הוא הקטע על הקו הישר המוקצה על־ידי הפרבולה, והקדקוד השלישי של המשולש הוא הנקודה על הפרבולה בה המשיק לפרבולה מקביל לבסיס המשולש. לפי טענה 1, קו מהקדקוד השלישי אשר מקביל לציר הפרבולה מחלק את הבסיס של המשולש למקטעים שווים. המשפט המרכזי קובע כי השטח של המקטע הפרבולי שווה ${\tfrac {4}{3}}$ פעמים שטחו של המשולש החסום.

מבנה הטקסט

ארכימדס נותן שתי הוכחות של המשפט המרכזי. הראשונה נעזרת במכניקה מופשטת, ועושה שימוש בעקרון המנוף. השניה, והמפורסמת יותר, נעזרת בגאומטריה טהורה, ובשיטת המיצוי.

הוכחה גאומטרית

חיתוך המקטע הפרבולי

הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא החלוקה של המקטע הפרבולי למספר אינסופי של משולשים, באופן כזה שכל משולש נחסם במקטע הפרבולי שלו באותו אופן שהמשולש הכחול נחסם במקטע הגדול.

שטחי המשולשים

בטענות 18 עד 21, ארכימדס מוכיח שהשטח של כל משולש ירוק הוא שמינית אחת משטח המשולש הכחול. זה נובע מההוכחה של ארכימדס שלמשולש הירוק רוחב השווה למחצית רוחב המשולש הכחול וגובה ששווה לרבע גובה המשולש הכחול. הטענה כי גובה המשולש הירוק שווה לרבע גובה המשולש הכחול נובעת מיישום הטענה הראשונה (טענה 1) שארכימדס הוכיח בחיבור למקטע הפרבולי בו חסום המשולש הירוק, ומן הגאומטריה של הפרבולה.

לאחר מכן, מרחיב ארכימדס את הטיעון הזה הלאה, ומוכיח שלכל אחד מהמשולשים הצהובים יש שטח ששווה לשמינית שטח המשולש הירוק, ושלכל אחד מהמשולשים האדומים יש שטח ששווה לשמינית שטח המשולש הצהוב, וכך הלאה. באמצעות שיטת המיצוי, נובע שהשטח הכולל של המקטע הפרבולי ניתן על־ידי:

${\text{Area}}=T+2\left({\frac {T}{8}}\right)+4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)+8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)+\cdots$

כאשר $T$ מייצג את שטח המשולש הגדול הכחול, האבר השני מייצג את שטחם הכולל של שני המשולשים הירוקים, האבר השלישי מייצג את שטחם הכולל של שני המשולשים הצהובים, וכך הלאה. הביטוי לעיל מתפשט:

${\text{Area}}=\left(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots \right)T$

סיכום הטור

כדי להשלים את ההוכחה, ארכימדס מראה כי:

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ={\frac {4}{3}}$

הנוסחה לעיל היא טור הנדסי, כל אבר הוא רבע מהאבר הקודם לו. ארכימדס מעריך את הסכום בשיטה גאומטרית לחלוטין – הערכת הסכומים החלקיים ושימוש בתכונה הארכימדית כדי לטעון שהסכומים החלקיים נעשים קרובים בצורה שרירותית ל־${\tfrac {4}{3}}$ . זה שקול לוגית לרעיון המודרני של סיכום טור אינסופי. התמונה משמאל ממחישה את הסיכום של טור אינסופי כזה. התמונה מראה ריבוע יחידה שחולק לאינסוף ריבועים קטנים יותר. כל ריבוע סגול הוא בעל שטח של ${\tfrac {1}{3}}$ מהריבוע הקודם לו, וכך השטח הסגול הכולל מסתכם:

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots$

אך הריבועים הסגולים קונגרואנטיים לכל אחת מקבוצות הריבועים הצהובים, ולכן מכסים ${\tfrac {1}{3}}$ משטח ריבוע היחידה. מכך נובע שהסכום לעיל מסתכם ב־${\tfrac {4}{3}}$ .

ראו גם

• היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0