שילוש זווית

בגאומטריית המישור, בעיית שילוש הזווית (או טריסקציה של זווית) מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה. זוהי אחת מן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם שלא נמצא לה פתרון במשך 2000 שנה. במאה ה-19 פותחה תורת גלואה שאפשרה להוכיח כי שילוש זווית אינו אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של משולש שווה-צלעות לא ניתן לשלש בסרגל ומחוגה.

אי אפשר לשלש במחוגה וסרגל

מאז תחילת המאה ה-19 ידוע שאי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית של $60^{\circ }$ כי זו הזווית הפנימית במשולש שווה-צלעות. כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של $20^{\circ }$ . נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך $\cos(20^{\circ })$ בתור ניצב במשולש ישר-זווית עם זווית של $20^{\circ }$ ויתר באורך 1. מזהויות טריגונומטריות פשוטות נובע ש- $4\cos ^{3}(20^{\circ })-3\cos(20^{\circ })=\cos(60^{\circ })=1/2$ .

מכאן ש- $\cos(20^{\circ })$ הוא שורש של הפולינום $8x^{3}-6x-1$ . זהו פולינום אי-פריק מעל השדה המספרים הרציונליים (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן $\cos(20^{\circ })$ הוא מספר אלגברי מדרגה 3, והשדה $\ \mathbb {Q} [\cos(20^{\circ })]$ הוא בעל ממד 3 מעל הרציונליים.

מספר מרוכב ניתן לבניה אם ורק אם הוא שייך לשדה בקצה שרשרת של הרחבות ריבועיות של הרציונליים (כי בניות בסרגל ומחוגה מתקבלות מחיתוכים בין ישרים ומעגלים שמניבים הרחבות ריבועיות). הממד של שדות כאלה הוא כמובן חזקת 2, אבל 3 אינו חזקה של 2, ומכאן שאי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות.