נוסחת הרון

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בגאומטריה, נוסחת הֵרון משמשת לחישוב שטח של משולש על-פי אורכי שלוש צלעותיו.

הנוסחה קובעת שהשטח הוא

${\begin{aligned}S&={\frac {\sqrt {P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{4}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

כאשר $a,b,c$ אורכי הצלעות, $s={\frac {a+b+c}{2}}$ מחצית ההיקף $P$ .

אי-שוויון המשולש מבטיח שכל הביטויים תחת סימן השורש חיוביים.

יציבות מספרית

נוסחת הרון כפי שהוצגה לעיל אינה יציבה מספרית עבור משולשים בעלי זווית קטנה מאוד. חלופה יציבה מצריכה סידור מחדש של צלעות המשולש, כך ש-$a\geq b\geq c$ וחישוב הנוסחה

$S={\frac {\sqrt {{\bigl (}a+(b+c){\bigr )}{\bigl (}c-(a-b){\bigr )}{\bigl (}c+(a-b){\bigr )}{\bigl (}a+(b-c){\bigr )}}}{4}}$

הסוגריים הכרחיים למניעת אי-יציבות מספרית בהערכה.

היסטוריה

גילוי הנוסחה מיוחס להרון מאלכסנדריה במאה ה-1, והוכחה לנוסחה מופיעה בספרו "מטריקה" (Metrica). אף על פי כן, כיום מאמינים כי ארכימדס כבר הכיר את הנוסחה ואף ייתכן כי הנוסחה הייתה ידועה זמן רב קודם לכן.

המתמטיקאי הסיני צ'ין ג'יו-האו גילה אותה מחדש במאה ה-13.

הוכחה

להלן הוכחה מודרנית הנעזרת באלגברה ובטריגונומטריה. הוכחה זו שונה למדי מההוכחה שניתנה על ידי הרון.

נניח כי $a,b,c$ צלעות המשולש, וכי $A,B,C$ הזוויות הנגדיות להן, בהתאמה. על פי משפט הקוסינוסים

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

באמצעות שימוש באלגברה נקבל

$\sin(C)={\sqrt {1-\cos ^{2}(C)}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$

הגובה לבסיס $a$ הוא $h=b\sin(C)$ , ומכאן נובע

${\begin{aligned}S&={\frac {ah}{2}}\\&={\frac {ab\sin(C)}{2}}\\&={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{4}}\\&={\frac {\sqrt {{\bigl (}c^{2}-(a-b)^{2}{\bigr )}{\bigl (}(a+b)^{2}-c^{2}{\bigr )}}}{4}}\\&={\frac {\sqrt {{\bigl (}a+(b+c){\bigr )}{\bigl (}c-(a-b){\bigr )}{\bigl (}c+(a-b){\bigr )}{\bigl (}a+(b-c){\bigr )}}}{4}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

כאשר $s={\frac {a+b+c}{2}}$ .

הכללה

נוסחת הרון היא למעשה מקרה פרטי של נוסחת בראהמגופטה (Brahmagupta's formula) לשטח מרובע החסום במעגל, ושניהם הם למעשה מקרים פרטיים של נוסחת ברטשניידר לשטח מרובע.

הצגת נוסחת הרון באמצעות דטרמיננטה במונחים של ריבועי המרחקים בין שלושה קודקודים,

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

ממחישה את הדמיון לנוסחת טרטליה עבור נפח ארבעון.

קישורים חיצוניים

• הוכחה גאומטרית לנוסחת הרון (אנגלית)
• נוסחת הרון, באתר MathWorld (באנגלית)