על ספירלות

על ספירלות (יוונית: Περὶ ἑλίκων) הוא חיבור שנכתב על־ידי ארכימדס בשנת 225 לפס"נ. החיבור מכיל 28 טענות על ספירלות, ונכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס. למרות שארכימדס לא גילה את הספירלה הארכימדית, הוא נעזר בה בספרו כדי לרבע את המעגל ולחלק זוית לשלושה חלקים שווים. על ספירלות מכיל גם את החישוב המוקדם ביותר של שטח החסום בספירלה; בעיה שבמינוח מודרני הנה בעיית אינטגרציה בקואורדינטות קוטביות – ארכימדס הוכיח שהשטח התחום על־ידי זרוע הספירלה לאחר שהשלימה סיבוב אחד שווה לשליש משטח המעגל החוסם את הספירלה.

תכנים

הקדמה

ארכימדס פותח במסר לחברו דוסיתאוס מפלוסיום וכותב כי מותו של קונון מסאמוס הוא אבידה למתמטיקה. אז הוא מתחיל לסכם את תוצאות חיבוריו הקודמים על הכדור והגליל ועל קונואידים וספרואידים. לאחר מכן הוא מתחיל לכתוב את תוצאותיו על ספירלות.

הספירלה הארכימדית

הספירלה הארכימדית עם שלושה סיבובים של 360 מעלות על זרוע אחת.

הספירלה הארכימדית נחקרה לראשונה על־ידי קונון ומאוחר יותר על־ידי ארכימדס. ארכימדס היה מסוגל למצוא מגוון משיקים לספירלה. הוא מגדיר את הספירלה כך:

אם קו ישר אשר נקודת קצה אחת שלו נותרת מקובעת במקומה מסובב בקצב אחיד במישור עד שהוא חוזר לתנוחה ממנו הוא התחיל להסתובב, ואם, באותו הזמן שהקו הישר מסתובב, נקודה נעה בקצב אחיד לאורך הקו הישר, ומתחילה מנקודת הקצה הקבועה, הנקודה תתאר ספירלה במישור.

חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים

דוגמה לחילוק זוית לשלושה חלקים שווים בעזרת ספירלה.

הבנייה שבה ארכימדס שילש את הזוית היא כדלקמן:

נניח שאנו רוצים לחלק את $\angle ABC$ לשלושה חלקים שווים. נחלק את הקטע $BC$ לשלושה קטעים שווים כך שיתקיים $BD={\tfrac {1}{3}}BC$ . כעת נצייר מעגל עם מרכז $B$ ורדיוס $BD$ . נניח שהמעגל עם המרכז $B$ חותך את הספירלה בנקודה $E$ . נקבל $\angle ABE={\tfrac {1}{3}}\angle ABC$ .

תרבוע המעגל

המעגל והמשולש שווים בשטחם.

כדי לרבע את המעגל, ארכימדס נותן את הבנייה הבאה (המופיעה ומוכחת בטענה 19 בחיבורו):

תהי $P$ הנקודה על הספירלה בה היא השלימה סיבוב אחד. נניח שהמשיק לספירלה בנקודה $P$ חותך את האנך ל־$OP$ ‏($O$ מרכז הספירלה) בנקודה $T$ . ‏$OT$ הוא אורך ההקף של מעגל עם רדיוס $OP$ .

ארכימדס כבר הוכיח בטענה הראשונה בחיבורו "על המדידה של המעגל" שהשטח של מעגל שווה לשטח משולש ישר־זווית בעל ניצבים שאורכם הוא רדיוס המעגל והקף המעגל. לכן השטח של המעגל עם רדיוס $OP$ שווה לשטח המשולש $OPT$ . מכאן הדרך לבניית ריבוע השווה בשטחו לשטח משולש $OPT$ נעשית באמצעות כלים אפלטוניים בלבד (כלומר בנייה בסרגל ובמחוגה) - בהינתן קטעים באורך $x$ ו־1 (נניח כי $OP=1$) ניתן לבנות קטע באורך ${\sqrt {x}}$ (נחבר בין הקטעים 1 ו־$x$ , נבנה את המעגל שקוטרו $x+1$ , ונעלה מנקודת המפגש של הקטעים 1 ו־$x$ אנך לקוטר שחותך את המעגל; משיקולי דמיון משולשים אורכו של האנך שנוצר הוא ${\sqrt {x}}$), ולאחר מכן ניתן לבנות על הקטע החדש כיתר משולש ישר־זוית שווה־שוקיים וכך לקבל קטע באורך ${\sqrt {\frac {x}{2}}}$ ולמעשה לקבל קטע באורך ${\sqrt {\pi }}$ (ולאחר מכן לבנות עליו ריבוע).

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0