קטע (מתמטיקה)

בגאומטריה, קטע הוא קבוצת כל הנקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה (קטע סגור), למעט שתי נקודות הקצה (קטע פתוח) או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).

במובן כללי יותר, גם הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל ישר הם קטעים.

במקרה שהמרחב הוא הישר הממשי אפשר לתאר קטע כקבוצה המכילה כל מספר ממשי בין שני מספרים נתונים, ואפשר שגם את אחד הקצוות או את שניהם. כמו כן ייתכן שבאחד הצדדים או בשניהם אין קצה. לדוגמה, הקטע שמסומן $\left(10,20\right)$ מכיל את כל המספרים הממשיים בין 10 ל-20, לא כולל 10 ו-20. אולם הקטע $\left[10,20\right]$ מכיל כל מספר בין 10 ל-20, וגם את המספרים 10 ו-20. לעיתים מסמנים קצה פתוח של קטע בסוגר מרובע הפוך, במקום בסוגר עגול, כדי למנוע בלבול עם סימונים אחרים כגון זוג סדור $(a,b)\in A\times B$ . כך למשל, הקטע הפתוח בין 10 ל-20 יסומן $]10,20[\ \equiv (10,20)$ .

בהכללה, קטע הוא תת קבוצה $\,S$ של קבוצה עם יחס סדר מלא $\,T$ , המקיימת שלכל $x,y\in S$ ו- $z\in T$ , אם $\,x<z<y$ אזי $z\in S$ . במקרה של יחס הסדר על הממשיים ההגדרה שקולה להגדרה הרגילה של קטע.

קטעים ממשיים

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר $T=\mathbb {R}$ , קבוצת המספרים הממשיים.

קטעים (בהגדרה המוכללת) ב- $\mathbb {R}$ נחלקים לאחד עשר הסוגים הבאים (כש- $\,a$ ו- $\,b$ הם מספרים ממשיים, $\,a<b$ ):

$(a,b)=\left\{x|a<x<b\right\}$ (נקרא "קטע פתוח")
$[a,b]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$ (נקרא "קטע סגור")
$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$
$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$
$(a,\infty )=\left\{x|x>a\right\}$ (נקראת "קרן פתוחה")
$[a,\infty )=\left\{x|x\geq a\right\}$ (נקראת "קרן סגורה")
$(-\infty ,b)=\left\{x|x<b\right\}$ (נקראת "קרן פתוחה")
$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$ (נקראת "קרן סגורה")
$\left(-\infty ,\infty \right)=\mathbb {R}$ , הישר הממשי כולו
$[a,a]=\left\{a\right\}$ , יחידון
$(a,a)=\emptyset$ , הקבוצה הריקה

$\,a$ ו- $\,b$ , היכן שהן מופיעות לעיל, נקראות נקודות קצה או פשוט קצות הקטע. סוגר מרובע מציין שנקודת הקצה שייכת לקטע, וסוגר עגול מציין שלא. למידע נוסף על הסימונים האלה, ראו תורת הקבוצות הנאיבית.

קטעים מהסוגים 1, 5, 7, 9 ו-11 לעיל נקראים קטעים פתוחים (מכיוון שהם קבוצות פתוחות) והקטעים 2, 6, 8, 9, 10 ו-11 נקראים קטעים סגורים (מכיוון שהם קבוצות סגורות). הקטעים 9 ו-11 הם אפוא גם פתוחים וגם סגורים (בכל מרחב קשיר וכך גם ב- $\mathbb {R}$ , קיימות שתי קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות).

הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים קטעים חסומים והיתר הם קטעים לא חסומים.

האורך של כל אחד מהקטעים החסומים 1, 2, 3 ו-4 הוא $\ l(I)=b-a$ .

לקטעים תפקיד חשוב בתורת האינטגרציה, מכיוון שהם הקבוצות הפשוטות ביותר שניתן להגדיר להן בקלות "גודל" או "מידה" או "אורך". את מושג המידה ניתן להרחיב לקבוצות מורכבות יותר, ולקבל את מידת בורל ולבסוף את מידת לבג.

הקטעים מהווים את אוסף תת-הקבוצות הקשירות של הממשיים, וכן את אוסף תת-הקבוצות הקמורות של הממשיים. מכך שתמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קשירה נובע שאם $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ היא פונקציה רציפה ו- $\,I$ הוא קטע, אזי התמונה $f\left(I\right)$ גם היא קטע. זהו אחד הניסוחים של משפט ערך הביניים.