התפלגות ארלנג

אגנר קרארוף ארלנג
(1878-1929)

התפלגות ארלנג

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\scriptstyle k\;\in \;\mathbb {N}$ צורה $\scriptstyle \lambda \;>\;0$,קצב (ממשי) alt.: $\scriptstyle \mu \;=\;{\frac {1}{\lambda }}>0\,$ גודל (ממשי)
תומך	$\scriptstyle x\;\in \;[0,\,\infty )\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},$
תוחלת	$\scriptstyle {\frac {k}{\lambda }}\,$
סטיית תקן	$\ {\sqrt {\lambda }}$
חציון	אין צורה סגורה פשוטה
ערך שכיח	$\scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}(k\,-\,1)\,$ ל-$\scriptstyle k\;\geq \;1\,$
שונות	$\scriptstyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
אנטרופיה	$\scriptstyle (1\,-\,k)\psi (k)\,+\,\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]\,+\,k$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\scriptstyle \left(1\,-\,{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}\,$ ל-$\scriptstyle t\;<\;\lambda \,$
צידוד	$\scriptstyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}$
גבנוניות	$\scriptstyle {\frac {6}{k}}$

התפלגות ארלנג היא משפחה של התפלגויות הסתברותיות רציפות עם שני פרמטרים ותומך $x\;\in \;(0,\,\infty )$. הפרמטרים שההתפלגות מקבלת הם:

• פרמטר הצורה $k$ שהוא מספר שלם חיובי. פרמטר זה גם נקרא מספר השלבים.
• פרמטר הקצב $\lambda$ שהוא מספר ממשי חיובי. לפעמים משתמשים במקדם חלופי בשם השיעור עם סימן $\mu$, שמיצג את ההופכי של הקצב.

באופן אינטואיטיבי ניתן להבין את התפלגות ארלנג כסכום של $k$-משתנים מקריים מעריכים, בלתי-תלויים עם תוחלת $\mu$. כאשר מספר השלבים בהתפלגות גדול (שואף לאינסוף) אז התפלגות שואפת להתפלגות מנוונת מרוכזת סביב הנקודה $\scriptstyle {\frac {1}{\mu }}$.

לפיכך כאשר פרמטר הצורה $k$ הוא 1, מתקבל מקרה פרטי בו ההתפלגות היא למעשה התפלגות מעריכית. מצד שני התפלגות גמא מהווה הכללה של התפלגות ארלנג בה ניתן לשבץ ערכים ממשים בפרמטר מספר השלבים $k$.

התפלגות ארלנג נקראת על שמו של אגנר קרארוף ארלנג שפיתח אותה במסגרת עבודתו על גרסה מוקדמת של תורת התורים. ארלנג התמודד עם הצורך המעשי להעריך את כמות שיחות טלפון שעשויה להתקבל בו זמנית על ידי מפעילי תחנות מיתוג במערך תקשורת. מאוחר יותר כאשר הורחבה עבודתו של ארלנג בתחום הנדסת תעבורה טלפונית, הוכללה ההתפלגות כך שיתאפשר גם חישוב של זמני המתנה במערכות תורים. כיום משמשת ההתפלגות ארלנג גם בתחומים כגון תהליכים סטוכסטיים, אקטואריה  וביומתמטיקה.

פונקציית צפיפות הסתברות

פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי מסוג ארלנג ניתנת על-פי:

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{ : }}x,\lambda \geq 0$

כאמור ${\textstyle k}$ נקרא פרמטר הצורה, ו-$\lambda$ נקרא פרמטר הקצב.

צורה שקולה לכתיבת פונקציית צפיפות ההסתברות על ידי פרמטריזציה חלופית בה נעשה שימוש ב-$\mu$:

$f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{ : }}x,\mu \geq 0$

בצורה זו משתמשים ב-$\mu$ פרמטר גודל, כאשר ($\mu =1/\lambda$). בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר $\mu$ שווה ל 2, ההתפלגות זהה להתפלגות כי בריבוע בעלת $2k$ דרגות חופש. ולכן התפלגות ארלנג היא הכללה להתפלגות כי בריבוע עבור דרגת חופש זוגית, ואכן לעיתים נקראת התפלגות זו התפלגות ארלנג-k.

פונקציית ההסתברות המצטברת

פונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה ארלנג היא:

$F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}$

כאשר $\gamma$ פונקציית גמא הלא-שלמה.

ניתן גם לרשום את פונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה ארלנג כפיתוח לטור:

$F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$

תכונות

נוסחת ארלנג מהווה הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית:

$xf'(x)+(\lambda x+1-k)f(x)=0$

עם תנאי שפה: $f(1)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}$ (התפלגות פואסון)

ערך שכיח

קיים פיתוח אסימפטוטי לפי נוסחה של רמנוג'אן עבור הערך השכיח של התפלגות ארלנג עבור הפיתוח הזה ניתן לחשב את הקבועים וההגבלות הידועים. הקרוב הוא:

${\dfrac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right)$

והערך השכיח לפי הקרוב הוא פחות מהתוחלת, שערכה הוא: ${\tfrac {k}{\lambda }}$.

סימולציית מספרים אקראיים

ניתן להפיק מספרים אקראיים בהתפלגות-ארלנג ממספרים אקראיים התפלגות אחידה ($U\in (0,1]$) באמצעות הנוסחה הבאה:

$E(k,\lambda )\approx -{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}$

שימושים

זמני המתנה

מודל תהליך פואסון מאפשר ייצוג של סדרת אירועים בלתי תלויים, בעלי קצב עם תוחלת סופית. במצב זה ניתן להעריך את זמן ההמתנה לסיומם של k אירועים כאלו על ידי התפלגות ארלנג. השאלה המקבילה: "מהו מספר האירועים הצפוי בפרק זמן נתון?" מתואר על ידי התפלגות פואסון.)

ניתן להשתמש בהתפלגות ארלנג להערכת זמן בין שיחות נכנסות, בשילוב עם אורכם הצפוי של שיחות נכנסות על מנת לייצר מידע על עומס התנועה נמדד ביחידות על שם ארלנג. ניתן להעריך לפי שיטה זו את ההסתברות לנפילת חבילות מידע ברשת מחשבים ועיכוב, על פי הנחות שונות לגבי אופן טיפול בשיחות שנחסמות. כאשר שיחות שנחסמות מבוטלות ניתן להשתמש בנוסחת ארלנג ב', וכאשר שיחות חסומות נאגרת בתור עד שהם נענות ניתן לחשב לפי נוסחת ארלנג ג'. נוסחות ארלנג-ב ו-ג עדיין משמשות מהנדסים ברמה יומיומית כמודלים של תעבורה. ישומים לנוסחאות אלו הם בתכנון מוקדים שרות טלפוניים ומערכות הזמנה לשירותים מכוונים ומערכות מעכב פרסום טלפוני.

כמו כן, נעשה שימוש בהתפלגות ארלנג בתחום כלכלת עסקית בבניית מודלים לתיאור משך זמן בין רכישות.

התפלגויות קשורות

• כאשר $\scriptstyle X\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k,\,\lambda )\,$ אז $\scriptstyle a\cdot X\;\sim \;\mathrm {Erlang} \left(k,\,{\frac {\lambda }{a}}\right)\,$ עם $\scriptstyle a\in \mathbb {R}$
• $\scriptstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {1}{\sigma _{k}}}\left(\mathrm {Erlang} (k,\,\lambda )\,-\,\mu _{k}\right)\;{\xrightarrow {d}}\;N(0,\,1)\,$ (התפלגות נורמלית)
• סכומם של שתי משתני ארלנג $\scriptstyle X\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k_{1},\,\lambda )\,$ ו$\scriptstyle Y\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k_{2},\,\lambda )\,$ הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים $\scriptstyle X\,+\,Y\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k_{1}\,+\,k_{2},\,\lambda )\,$
• סכומם של מספר $\scriptstyle X_{i}\;$ משתנים מעריכים בעלי פרמטר (λ) הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים $\scriptstyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k,\,\lambda )\,$
• התפלגות ארלנג היא מקרה פרטי של התפלגות פירסון מסוג שלישי.
• כאשר k הוא מספר שלם: $\scriptstyle X\;\sim \;\Gamma (k,\,\lambda )$ (התפלגות גמא) אז $\scriptstyle X\;\sim \;\mathrm {Erlang} (k,\,\lambda )\,$
• כאשר מחלקים משתנה מעריכי $\scriptstyle U\;\sim \;\mathrm {Exponential} (\lambda )\,$ במשתנה ארלנג $\scriptstyle V\;\sim \;\mathrm {Erlang} (n,\,\lambda )\,$ אז התוצאה היא משתנה פארטו $\scriptstyle {\frac {U}{V}}\;\sim \;\mathrm {Pareto} (1,\,n)$

ראו גם

• התפלגות פואסון
• התפלגות גמא
• התפלגות מעריכית
• תהליך פואסון