התפלגות אחידה רציפה

התפלגות אחידה (רציפה)

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ (יכול להיות גם איחוד של מספר קטעים)
תומך	$x\in (a,b)$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in (a,b)\\0,&{\mbox{otherwise }}\end{cases}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ F_{X}(x)={\begin{cases}0,&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b\\1,&b\leq x\end{cases}}$
תוחלת	${\frac {a+b}{2}}$
סטיית תקן	${\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$
חציון	${\frac {a+b}{2}}$
ערך שכיח	(כל ערך בין a לבין b)
שונות	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
אנטרופיה	$\ \ln(b-a)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$
צידוד	$\ 0$
גבנוניות	$-{\frac {6}{5}}$

התפלגות אחידה רציפה (באנגלית: Continuous Uniform distribution) היא התפלגות רציפה בה לכל הקטעים בעלי אותו אורך, הנמצאים בתומך שלה, הם בעלי הסתברות שווה.

תומך ההתפלגות האחידה הרציפה הוא קטע, ההתפלגות נתונה בעזרת שני פרמטרים $a$ ו- $b$ , ומציינים את קצוות הקטע המהווה התומך, ותסומן לרוב על ידי $U(a,b)$ .

מאפיינים סטטיסטיים

מאפיינים מגדירים

בהינתן משתנה מקרי $X\sim U(a,b)$ , פונקציית צפיפות ההסתברות שלו היא:

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$

פונקציית ההתפלגות המצטברת של המשתנה המקרי היא:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x<b\\[8pt]1&{\text{for }}x\geq b\end{cases}}$

מומנטים ופונקציות יוצרות

תוחלתו ושונותו של המתשנה המקרי $X$ נתונות על ידי הנוסחאות:

$\mathbb {E} X={\frac {a+b}{2}}$

$Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

הנוסחא למומנט מסדר $n$ של המשתנה המקרי היא:

$\mathbb {E} X^{n}={\frac {b^{n}-a^{n}}{(n+1)(b-a)}}$

המומנט הממרוכז ה-$n$-י הוא:

$\mathbb {E} (X-\mathbb {E} X)^{n}={\frac {(b-a)^{n}\cdot (1+(-1)^{n})}{2^{n+1}(n+1)}}$

בפרט ניתן לראות כי המומנטים הממורכזים מסדר אי-זוגי מתאפסים. עובדה זו נובעת בקלות מהיות $X$ סימטרי סביב הממוצע.

הפונקציה יוצרת המומנטים של המשתנה המקרי נתונה על ידי:

$M_{X}(t)=\mathbb {E} exp(tX)={\begin{cases}{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}&\mathrm {for} \ t\neq 0\\[8pt]1&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$

בדומה, הפונקציה האופיינית של המשתנה המקרי היא:

$\phi _{X}(t)=\mathbb {E} exp(itX)={\begin{cases}{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}&\mathrm {for} \ t\neq 0\\[8pt]1&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$

קשרים להתפלגויות אחרות

• מתוך משתנה מקרי אחיד $U\sim U(0,1)$ ניתן לייצר כל התפלגות – עקרון דגימת ההעתקה ההפוכה (באנגלית: Inverse transform sampling) גורס שאם $F$ היא פונקציית התפלגות, ומגדירים את הפונקציה ההופכית המוכללת של $F$ על ידי $F^{-1}(t)=\inf\{x:F(x)\geq t\}$ , אז למשתנה $F^{-1}(U)$ יש פונקציית התפלגות השווה ל־$F$ . שימוש בשיטה זו יכול להיות קשה במקרים בהם $F^{-1}$ קשה לחישוב.
• למשל, אם $U\sim U(0,1)$ אז המשתנה $\lambda ^{-1}\cdot \ln({\frac {1}{U}})$ מתפלג מעריכית עם פרמטר $\lambda$ .
• אם $U\sim U(0,1)$ אז המשתנה $U^{n}$ מתפלג בטא – $U^{n}\sim Beta(1/n,1)$ .
• התפלגות משולשת היא התפלגות של סכום של שני משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים המתפלגים אחיד.
• התפלגות אירווין-הול היא ההתפלגות של סכום של $n$ משתנים מקריים בלתי־תלויים, כל אחד מתפלג $U(0,1)$ .
• אם $U,V\sim U(0,1)$ , אז גם למשתנה המקרי $|U-V|$ יש התפלגות משולשת.
• ניתן להשתמש בטרנספורמציית בוקס-מילר כדי לקבל משתנים אקראיים נורמליים מתוך משתנים אקראיים רציפים המתפלגים אחיד.

שימושים

סטטיסטיקה תאורטית

בסטטיסטיקה, כשמשתמשים במבחן ערך-p לבדיקת השערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז ערך ה-p מתפלג אחיד בין 0 ל־1 כאשר השערת האפס נכונה.

תכנות

לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסאודו־אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית, וזאת תוך שימוש במחולל מספרים פסאודו-אקראיים. שימוש בעקרון דגימת ההעתקה ההפוכה מאפשר כך למתכנת לקבל ערך אקראי המתפלג כרצונו. כך למשל יכול מתכנת לסמלץ פעולות כמו הטלת מטבע או קובייה.

חישוב נומרי ושיטת מונטה־קרלו

נניח שנתונה לנו פונקציה אינטגרבילית $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ , ורוצים לחשב את האינטגרל $\int _{a}^{b}f(x)dx$ . אם לפונקציה $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ יש פונקציה קדומה ידועה, ניתן לחשב את האינטגרל תוך שימוש במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כשאין זה המקרה, ניתן לחשב את האינטגרל על ידי האבחנה הבאה – האינטגרל שווה ל־$(b-a)\mathbb {E} (f(U))$ כאשר $U\sim U(a,b)$ . את ערך התוחלת ניתן לקרב תוך שימוש בחוק המספרים הגדולים – מגרילים סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים $U_{1},...,U_{N}\sim U(a,b)$ ומחשבים את הממוצע האמפירי $M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(U_{i})$ . אי-שוויון צ'בישב גורר כי

$\mathbb {P} \{|M-\mathbb {E} f(U)|\geq t\}\leq {\frac {Var(M)}{t^{2}}}={\frac {Var(f(U))}{Nt^{2}}}$

בשיטה זו נהוג להשתמש בסימולציה של מערכות מורכבות בפיזיקה,כימיה והנדסה. למשל, כאשר יש צורך להבין מהי ההסתברות שמערכת הנדסית תכשל, ניתן להריץ סימולציה של המערכת מספר רב של פעמים ולראות מה יחס מספר הפעמים בה המערכת נכשלה.

שגיאות קוונטיזציה

בעיבוד אותות שגיאת קוונטיזציה היא שגיאה הנובעת מקירוב של אות אנלוגי על ידי אות דיגיטלי. עקב מספר הביטים הסופי באות הדיגיטלי, חייבת להיות שגיאה בקירוב זה – שגיאה הנובעת מעיגול או השמטה של הספרות האחרונות. כאשר עוצמת האות המקורי גדולה הרבה יותר מהביט הזניח ביותר, המתאם בין השגיאה לגודל האות המקורי קטן מאוד, וכתוצאה מכך השגיאה מתפלגת, בקירוב, בצורה אחידה.

התפלגות אחידה סטנדרטית

המקרה הפרטי המתקבל מהגבלת הפרמטרים $a=0$ $b=1$ , נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית, המסומנת על ידי $\ X\sim U\left(0,1\right)$ .

עקרון דגימת ההעתקה ההפוכה גורס כי מתוך התפלגות אחידה סטנדרטית ניתן להגיע לכל התפלגות שהיא, בהנחה ופונקציית ההתפלגות המצטברת ידועה.

ראו גם

• התפלגות אחידה

קישורים חיצוניים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.