התפלגות וייבול

וייבול (2 פרמטרים)

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$k\in (0,+\infty )\,$ פרמטר צורה $\lambda \in (0,+\infty )\,$ פרמטר סולם
תומך	$x\in (0,+\infty )\,$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
תוחלת	$\lambda \,\Gamma (1+1/k)\,$
סטיית תקן	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
חציון	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
ערך שכיח	${\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,&k>1\\0&k=1\end{cases}}$
שונות	$\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,$
אנטרופיה	$\gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1$
פונקציה אופיינית	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$
צידוד	${\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
גבנוניות	(ראה בערך)

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות וייבול היא התפלגות הסתברות רציפה. היא קרויה על שם המתמטיקאי השוודי וולודי וייבול, שתיאר אותה בפירוט בשנת 1951, על אף שהיא זוהתה לראשונה על ידי פרוג'קט (1927) ויושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר (1933) לתיאור התפלגות גודל חלקיקים.

הגדרה

פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי וייבול היא:

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

כאשר k > 0 הוא פרמטר הצורה ו λ > 0 הוא פרמטר הגודל של ההתפלגות. הפונקציה המצטברת המשלימה של ההתפלגות היא פונקציה מעריכית מתוחה. התפלגות וייבול קשורה למספר התפלגויות הסתברות אחרות; בפרט, זה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית (k = 1) והתפלגות ריילי (k = 2 ו-$\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$).

הפרמטר x הוא "זמן הכישלון", התפלגות וייבול נותנת התפלגות שפונקציית הסיכון שלה הוא יחסי לכוחו של הזמן. פרמטר הצורה, k, ששוה לכוח ועוד 1, יכול להתפרש ישירות כדלקמן:

• ערך של k < 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון פוחת עם הזמן. דבר זה קורה אם יש "תמותת תינוקות" משמעותית, או שפריטים פגומים קורסים מוקדם ופונקציית הסיכון יורדת לאורך זמן כשפריטים פגומים ממופים מהאוכלוסייה.
• ערך של k = 1 מצביע על כך שפנקציית הסיכון היא קבועה לאורך זמן. דבר זה עשוי להצביע על אירועים חיצוניים אקראיים שגורמים תמותה, או קריסה.
• ערך של k > 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון עולה עם זמן. דבר זה קורה אם יש תהליך של "הזדקנות", או שיש חלקים שהסיכוי שלהם לקרוס גובר עם הזמן.

בתחום הנדסת חומרים, פרמטר הצורה k של התפלגות נקודות החוזק ידוע כמודולוס וייבול.

מאפיינים

פונקציית צפיפות

הצורה של פונקציית הצפיפות של התפלגות וייבול משתנה באופן דרסטי עם הערך של k. כש-k גדול מאפס וקטן מאחד פונקציית הצפיפות נוטה ל- ∞. כש-x שואף לאפס מלמעלה ויורד בקפדנות. עבור k="1," 1>, פונקציית הצפיפות שואפת ל-∞ כש-x שואף ל-0 מלמעלה ויורד בקפדנות. כש- k = 1 פונקציית הצפיפות שואף ל-1 / λ כש-x שואף לאפס מלמעלה ויורד בקפדנות. כש- k > 1 פונקציית הצפיפות שואף ל-0 כש-x שואף ל-0 מלמעלה מגביר עד הקצב שלו ויורד אחריו. </k>מעניין לציין שלפונקציית הצפיפות יש שיפוע שלילי אינסופי ב- x = 0 אם k גדול מ-0 וקטן מ-1<k <1, שיפוע חיובי אינסופי ב- x="0" אם 1 k <2 וnull מדרון <ב->. יש לו שיפוע חיובי אינסופי ב-x = 0 אם k > 2. ל-k = 2 השיפוע חיובי וסופי ב-x = 0. כש-K הולך לאינסוף, התפלגות וייבול מתכנסת לפונקציית דלתא של דיראק המרוכזת ב-x = λ. יתר על כן, צידוד ומקדם השינוי תלויים רק בפרמטר הצורה.</k>

פונקציית התפלגות

הפונקציה המצטברת עבור התפלגות וייבול היא:

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

ל-x ≥ 0, ו-F(x; k; λ) = 0 בשביל x < 0.

פונקציית חמישון (התפלגות הפוכה מצטבר) להתפלגות וייבול היא:

$Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}$

ל-0 ≤ p < 1.

פונקציית הסיכון, h, ניתנת על ידי:

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

מומנטים

פונקציית הייצור של המומנטים של הלוגריתם של משתנה המקרי של התפלגות וייבול ניתנת על ידי:

$E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)$

שבו Γ הוא פונקציית גמא. כמו כן, הפונקציה האופיינית של log X ניתנת על ידי:

$E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).$

בפרט, הרגע הפרטי ה-nי של X ניתן על ידי:

$m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

התוחלת והשונות של המשתנה המקרי וייבול יכולים לבוא לידי ביטוי כ:

$\mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

וכ-

${\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.$

הצידוד ניתן על ידי:

$\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

שבו הממוצע מסומן על ידי μ וסטיית התקן מסומנת על ידי σ.

הגבנוניות העודפת ניתנת על ידי:

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}$

שבו $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$. את הגבנוניות העודפת ניתן גם לבטא כ:

$\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

פונקציית ייצור מומנט

מגוון רחב של ביטויים זמינים עבור פונקציית מניבות מומנט של X עצמו. כטור חזקות, מאחר שרגעים פרטיים כבר ידועים, ישנו אחד שמקיים:

$E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

לחלופין, אפשר לנסות להתמודד ישירות עם אינטגרל:

$E\left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.$

אם מניחים שהפרמטר k הוא מספר רציונלי, הביע את k = p/q שבו p ו q הם מספרים שלמים, ולאחר מכן אינטגרל זה ניתן להעריך באופן אנליטי. עם נחליף את t ב- (t-), נמצא ש:

$E\left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)$

כש-G הוא ה-Meijer G-function.

פונקציה אופיינית התקבלה גם על ידי מורלדהרן (2007). הפונקציה האופיינית והפונקציה היוצרת מומנטים של התפלגות וייבול עם 3-פרמטרים גם כן נגזרה כבר על ידי מורלדהרן וסוארס (2014) על ידי גישה ישירה.

פרטי האנטרופיה

פרטי האנטרופיה ניתנים על ידי:

$H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$

כש-$\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערכת פרמטר

סבירות מרבית

הנראות המקסימלית של הפרמטר $\lambda$ בהינתן $k$ הוא:

${\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}$

הנראות המקסימלית של הפרמטר $k$ הוא:

${\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}$

זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש בדרך כלל לפתור את המשוואה עבור k כמספר שלם.

כש-$x_{1}>x_{2}>...>x_{N}$ כש-$N$ הם הדגימות הכי גדולות מבסיס נתונים הגדול מ- $N$ דגימות, הנראות המקסימלית של הפרמטר $\lambda$ בהינתן הפרמטר $k$ הוא:

${\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})$

כמו כן, בהינתן אותם תנאים הנראות המקסימלית של הפרמטר $k$ הוא:

${\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}$

שוב, זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש לפתור אותה עבור k כמספר שלם.

תרשים וייבול

ההתאמה של הנתונים להתפלגות וייבול ניתן להעריך מבחינה ויזואלית באמצעות תרשים וייבול. תרשים וייבול הוא תרשים של כפונקציית התפלגות היצטברות אמפירית ${\hat {F}}(x)$ של נתונים על תרשים מסוג Q-Q. הצירים הם $\ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))$ מול $\ln(x)$. הסיבה לשינוי זה של משתנים היא שפונקציית ההתפלגות המצטברת יכולה להיות לינארית:

${\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}$

אשר ניתן לראות להיות בצורה סטנדרטית של קו ישר. לכן אם הנתונים הגיעו מהתפלגות וייבול אז יופיע קו ישר על תרשים הוייבול.

ישנן גישות שונות להשגת פונקציית ההתפלגות האמפירית מהנתונים: שיטה אחת היא להשיג תיאום אנכי לכל נקודה באמצעות ${\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$ כאשר $i$ היא בדרגה של נקודת נתונים ו-$n$ הוא המספר של נקודת הנתונים.

גם רגרסיה לינארית יכולה לשמש כדי להעריך את טיב ההתאמה ולהעריך את הפרמטרים של התפלגות וייבול. השיפוע משפיע ישירות על פרמטר הצורה $k$ וניתן להסיק גם את קנה המידה של הפרמטר $\lambda$.

התפלגות וייבול משמשת ב:

• בניתוח הישרדות.
• בניתוח הנדסה וניתוח כשל.
• בהנדסת חשמל לייצוג מתח יתר המתרחש במערכת חשמלית.
• בהנדסת תעשייה לייצוג כמות הייצור והאספקה.
• בתיאורית הערך הקיצוני.
• בחיזוי מזג האוויר.
• כדי לתאר את פיזור מהירות רוח, מכיוון שפיזור הטבעי תואם לעיתים קרובות את צורת וייבול.
• בהנדסת מערכות תקשורת.
• במערכות מכ"ם למודל הפיזור של רמת האותות על ידי סוגים מסוימים של אי-סדר.
• מודל לדהיית ערוצים בתקשורת אלחוטית, כפי שנראה עד כה מודל דהיית וייבול מהפגין התאמה טובה למדידות דהיית ערוץ תקשורת ניסיוני.

התאמה של התפלגות וייבול מצטברת למקסימום גשם ביום אחד באמצעות CumFreq.

• בביטוח אלמנטרי לייצירת מודל לגודל של תביעות ביטוח שנה, והפיתוח המצטבר של הפסדי אזבסטוזיס.
• בחיזוי שינויים טכנולוגיים (הידוע גם כמודל שריף-אסלאם).
• בהידרולוגיה התפלגות וייבול מוחלת על אירועים קיצוניים כגון גשמים מרביים ליום אחד ושיחרור נהר. התמונה הכחולה ממחישה דוגמה של התאמה של התפלגות וייבול לכמות הגשמים המקסימלאית של גשמים ביום אחד וגם רווח בר-סמכה של 90% המבוסס על ההתפלגות הבינומית. נתוני הגשם מיוצגים על ידי התוויית עמדות כחלק מניתוח התדירות המצטבר.

התפלגויות קשורות

• התפלגות וייבול מתורגמת (או וייבול בעל 3-פרמטרים) מכיל פרמטר נוסף. פונקציית צפיפות ההסתברות היא:

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$

ל- $x\geq \theta$ ו- f(x; k, λ, θ) = 0 ל- x < θ, כאשר $k>0$ הוא פרמטר הצורה, $\lambda >0$ הוא פרמטר הסולם ו- $\theta$ הוא פרמטר המיקום. כאשר θ=0, דבר זה מפחית את ההיתפלגות לשתי פרמטרים.

• את התפלגות וייבול ניתן להתפלגות של משתנה מקרי W כך שהמשתנה:

$X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}$

הוא ההתפלגות מעריכית סטנדרטית בעוצמה 1.

•  משמעות הדבר הוא כי התפלגות וובול יכולה גם להיות מאופיינת במונחים של התפלגות אחידה: אם U מפוזר באופן אחיד על (0,1),אז המשתנה האקראי  $W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$ הוא התפלגות וייבול עם הפרמטרים k ו-λ. (לא ש- $-\ln(U)$ כאן שווה ל- $X$ אלא הוא מעליו.) דבר זה מוביל לתוכנית מספרית המיושמת בקלות להדמיית התפלגות וייבול.
• התפלגות וייבול מהווה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית עם עוצמה intensity 1/λ כאשר k = 1 והתפלגות ריילי מסוג   $\sigma =\lambda /{\sqrt {2}}$ כאשר k = 2.
• התפלגות וייבול היא מקרה מיוחד של חלוקת הערך הקיצונית הכללית. קשר זה זוהה לראשונה על ידי מוריס פרוג'קט בשנת 1927. התפלגות פרוג'קט קשורה באופן הדוק עם פונקציית צפיפות ההסתברות:

$f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=*f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).$

• חלוקת משתנה מקרי שמוגדרת כמינימום של מספר משתנה מקרי, כשכל אחד מן ההתפלגויות וייבול הן שונות, היא התפלגות פולי-וייבול.
• התפלגות וייבול יושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר (1933) לתיאור התפלגות גודל חלקיקים. בהתפלגות נעשה שימוש נרחב בעיבוד מינרלים לתאר התפלגות גודל חלקיקים בתהליכי ריסוק. בהקשר זה ההתפלגות המצטברת ניתנת על ידי:

$f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

כש:

$x$: גודל החלקיק.

$P_{\rm {80}}$: האחוזון ה-80 של התפלגות גודל החלקיקים.

$m$: פרמטר המתאר את ההתפשטות של התפלגות

• בגלל זמינותו בגיליונות האלקטרוניים, הוא משמש גם איפה שההתנהגות הבסיסית מדוגמת טוב יותר על ידי התפלגות ארלנג.

ראו גם

• התפלגות לוגיסטית