פונקציית גמא הלא שלמה

פונקציית גמא הלא-שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים: ישנם שני סוגיים של פונקציית גמא הלא-שלמה: עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא-שלמה העליונה מוגדרת:

$\Gamma (s,x)=\int \limits _{x}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt$

פונקציית גמא הלא-שלמה התחתונה מוגדרת:

$\gamma (s,x)=\int \limits _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}dt$

מאפיינים של פונקציית גמא הלא-שלמה

מההגדרה ניתן להבין כי

$\gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s)$

על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה:

${\begin{aligned}\Gamma (s,x)&=(s-1)\Gamma (s-1,x)+x^{s-1}e^{-x}\\\gamma (s,x)&=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}e^{-x}\end{aligned}}$

תכונות

• $\Gamma (s,x)=(s-1)!e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}$ כאשר $s\in \mathbb {N}$
• $\Gamma (s,0)=\Gamma (s)$
• $\Gamma (1,x)=e^{-x}$
• $\gamma (1,x)=1-e^{-x}$

מאפיינים של נגזרת הפונקציה

• ${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{s-1}}{e^{x}}}$

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית $G$ של ("Meijer G") מאייר:

$T(m,s,x)=G_{m-1,m}^{m,0}\left({\begin{matrix}0,0,\ldots ,0\\s-1,-1,\ldots ,-1\end{matrix}}{\bigg |}x\right)$

$T(m,s,z)={\frac {(-1)^{m}}{(m-2)!}}{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}$ כאשר $|z|<1$

• ${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln(x)\Gamma (s,x)+xT(3,s,x)$
• ${\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln(x)^{2}\Gamma (s,x)+2x{\bigl [}\ln(x)T(3,s,x)+T(4,s,x){\bigr ]}$
• ${\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln(x)^{m}\Gamma (s,x)+mx\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln(x)^{m-n-1}T(3+n,s,x)$ וגם $P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}$

התנהגות אסימפטוטית

• ${\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}$ כאשר $x\to 0$
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}$ כאשר $x\to 0$ וגם ${\text{Re}}(s)<0$
• $\gamma (s,x)\to \Gamma (s)$ כאשר $x\to \infty$
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1$ כאשר $x\to \infty$