התפלגות היפרגאומטרית
מאפיינים | |
---|---|
פרמטרים |
$ N\in 0,1,2,3,\dots \, $ $ D\in 0,1,\dots ,N\, $ $ n\in 0,1,\dots ,N\, $ |
פונקציית הסתברות (pmf) | $ {{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}} $ |
תוחלת | $ {nD \over N} $ |
סטיית תקן | $ {\sqrt {n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}} $ |
שונות | $ {n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)} $ |
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | $ {\frac {N-D \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,\!-D;\!N\!-\!D\!-\!n\!+\!1;\!e^{t}) $ |
צידוד | $ {\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}} $ |
גבנוניות |
$ \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right] $ $ \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}}\right]. $ |
התפלגות היפרגאומטרית היא התפלגות של המשתנה המקרי הבדיד הסופר את ההוצאות המוצלחות (ללא החזרה וללא חשיבות סדר) שיצאו בקבוצה חלקית, כאשר ידוע מספר ההצלחות האפשריות בסדרת הניסויים כולה. הסימון $ \ X\sim HG(N,D,n) $ מתאר שהמשתנה המקרי $ \ X $מתפלג היפרגאומטרית עם הפרמטרים $ D $,$ N $ ו-$ n $, אם הוא סופר את מספר ההצלחות ב-$ n $ הניסויים הראשונים (ללא החזרה) מתוך $ N $, כשידוע שבסדרת הניסויים כולה היו $ D $ הצלחות פוטנציאליות.
כך לדוגמה, התפלגות זו מתארת את מספר הכדורים הלבנים שמתקבלים כאשר מוציאים $ n $ כדורים מכד שיש בו $ N $ כדורים, ומתוכם יש $ D $ כדורים לבנים.
ההסתברות לכך ש- $ \ X=k $ היא $ P\left(X=k\right)={\frac {{D \choose k}{N-D \choose n-k}}{N \choose n}} $.
שם ההתפלגות
היחס $ {\frac {P\left(X=k+1\right)}{P\left(X=k\right)}}={\frac {(D-k)(n-k)}{(k+1)(N-D-n+k+1)}} $ מבטא סדרה היפרגאומטרית, ומכאן שמה של ההתפלגות.
דוגמאות ויישומים
אחת הדוגמאות הנפוצות לשימוש בהתפלגות היפרגאומטרית היא הוצאת כדורים מכד ללא החזרה.
בדוגמה ישנו כד עם D כדורים בצבע א' ו-S כדורים בצבע ב' ומוציאים n כדורים מהכד ללא החזרה, כדי לחשב את המשתנה המקרי של מס' הכדורים מצבע א' שייצאו מהכד יש להציב את הנתונים בנוסחה כאשר $ N=D+S $, ושאר הנתונים בהתאמה.
התפלגויות קשורות
עם החזרה | בלי החזרה | |
---|---|---|
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות | התפלגות בינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
מספר הוצאות עד מספר הצלחות | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |
התפלגויות | ||
---|---|---|
התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון | ![]() |
התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום | |
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • מקסוול-בולצמן • בוז-איינשטיין • פרמי-דיראק • זטא | |
התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית | |
סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |
קישורים חיצוניים
- התפלגות היפרגאומטרית, באתר MathWorld (באנגלית)
- התפלגות היפרגאומטרית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
התפלגות היפרגאומטרית30824253Q730600