התפלגות בינומית
פונקציית ההסתברות | |
![]() | |
פונקציית ההסתברות המצטברת | |
---|---|
![]() | |
מאפיינים | |
פרמטרים |
p – ההסתברות ל"הצלחה", n – מספר ההטלות |
תומך | $ k\in \{0,1,2...,n\} $ |
פונקציית הסתברות (pmf) | $ {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\! $ |
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) | $ I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\! $ |
תוחלת | $ np $ |
סטיית תקן | $ {\sqrt {np(1-p)}} $ |
חציון | $ \{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\} $ |
ערך שכיח | $ \lfloor (n+1)\,p\rfloor \! $ |
שונות | $ np(1-p) $ |
אנטרופיה | $ {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi e\ np(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right) $ |
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | $ (1-p+pe^{t})^{n}\! $ |
פונקציה אופיינית | $ (1-p+pe^{it})^{n}\! $ |
צידוד | $ {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\! $ |
גבנוניות | $ {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\! $ |
התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של $ n $ ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה $ p $ בכל אחד. אם $ X $ משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים $ X\sim \mathrm {Bin} (n,p) $.
ההתפלגות הבינומית
ההתפלגות של משתנה בינומי $ X\sim \mathrm {Bin} (n,p) $ היא
$ p_{X}(k)=\Pr \left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k} $
עבור $ k=0,1,\ldots ,n $, ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד $ q=1-p $. הסימון $ {\binom {n}{k}} $ מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק $ k $ פעמים בסדרה של $ n $ ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה $ p $ שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן $ k $ הצלחות ו-$ n-k $ כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה $ p^{k}q^{n-k} $. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את $ k $ הניסויים המוצלחים מתוך כלל $ n $ הניסויים, שהוא המקדם הבינומי $ {\binom {n}{k}} $, כפול $ p^{k}q^{n-k} $.
סכום ההסתברויות
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: $ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1 $.
תוחלת ושונות
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא $ np $, והשונות שלו היא $ npq $.
דוגמה
מטילים $ 7 $ פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של $ 0.6 $. נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב-$ X $ אז $ X\sim \mathrm {Bin} (7,0.6) $. ההסתברות לקבלת "עץ" $ 4 $ פעמים בדיוק היא $ \Pr(X=4)={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot 0.4^{3}=0.290304 $
התפלגות בינומית שלילית
ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית
נאמר שמשתנה מקרי $ X $ מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים $ (r,p) $ אם
$ p_{X}(k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\cdot \Gamma (r)}}p^{r}(1-p)^{k} $
כאשר $ \Gamma $ היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.
קשרים להתפלגויות אחרות
סכום של משתנים מקריים בינומיים
אם $ X\sim \mathrm {Bin} (n,p) $ וכן $ Y\sim \mathrm {Bin} (m,p) $ הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה $ p $ אז $ X+Y\sim \mathrm {Bin} (n+m,p) $, זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי.
התפלגות ברנולי
התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר $ X\sim \mathrm {Bin} (1,p) $ ונהוג לסמן $ X\sim \mathrm {Ber} (p) $. למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של $ n $ התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות $ p $.
קירוב על ידי התפלגות פואסון
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי $ n $ גדולים מאוד וערכי $ p $ קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר $ \lambda =np $. באופן פורמלי, אם $ \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty } $ סדרת משתנים מקריים המתפלגים $ X_{n}\sim \mathrm {Bin} \left(n,{\frac {\lambda }{n}}\right) $ אז $ \lim _{n\to \infty }\Pr(X=k)=\Pr(Y=k) $ כאשר $ Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda ) $.
קירוב על ידי התפלגות נורמלית
אם $ n $ גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית $ X\sim N(np,np(1-p)) $. כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.
התפלגויות קשורות
עם החזרה | בלי החזרה | |
---|---|---|
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות | התפלגות בינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
מספר הוצאות עד מספר הצלחות | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |
ראו גם
קישורים חיצוניים
- התפלגות בינומית, באתר MathWorld (באנגלית)
- התפלגות בינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
התפלגויות | ||
---|---|---|
התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון | ![]() |
התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום | |
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • מקסוול-בולצמן • בוז-איינשטיין • פרמי-דיראק • זטא | |
התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית | |
סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |
התפלגות בינומית31453484Q185547