התפלגות F
| פונקציית צפיפות ההסתברות | |
 | |
| פונקציית ההסתברות המצטברת | |
|---|---|
 | |
| מאפיינים | |
| פרמטרים | $ \ d_{1},d_{2} $ דרגות חופש |
| תומך | $ x\in [0,+\infty ) $ |
|
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf) | $ {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\! $ |
|
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) | $ I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right) $ |
| תוחלת |
$ {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\! $ for d2 > 2 |
| ערך שכיח |
$ {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}} $ for d1 > 2 |
| שונות |
$ {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\! $ for d2 > 4 |
| צידוד |
$ {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\! $ for d2 > 6 |
בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F, ידועה גם כהתפלגות פישר־סנדקור היא התפלגות רציפה. התפלגות F מופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F).
הגדרה וסימון
כאשר משתנה מקרי $ X $ מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים $ d_{1} $ ו-$ d_{2} $ , נהוג לסמן זאת כך: $ X\sim F(d_{1},d_{2}) $ , ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת: $ {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}} $ עבור $ x\geq 0 $ , כאשר $ \mathrm {B} $ היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים $ d_{1} $ ו-$ d_{2} $ מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.
תכונות
משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים $ d_{1} $ ו-$ d_{2} $ עשוי להיות יחס של שני משתנים המתפלגים לפי כי בריבוע: $ {\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}} $ כאשר:
- $ U_{1} $ ו-$ U_{2} $ מתפלגים לפי כי בריבוע עם $ d_{1} $ ו-$ d_{2} $ דרגות חופש בהתאמה
- $ U_{1} $ ו-$ U_{2} $ הם בלתי תלויים
ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל באנליזת שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי־תלות של $ U_{1} $ ו-$ U_{2} $ .
