התפלגות לוגיסטית

התפלגות לוגיסטית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$ \ \sigma >0 $ ,$ -\infty <\mu <\infty $
תומך	$ \ \mathbb {R} $
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$ {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\! $
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$ {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\! $
תוחלת	$ \ \mu $
סטיית תקן	$ {\frac {\pi }{\sqrt {3}}}s\! $
חציון	$ \ \mu $
ערך שכיח	$ \ \mu $
שונות	$ {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\! $
אנטרופיה	$ \ln(s)+2\, $
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$ e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\! $ עבור $ |s\,t|<1\! $, פונקציית בטא
פונקציה אופיינית	$ e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\, $ for $ |ist|<1\, $
צידוד	$ \ 0 $
גבנוניות	$ \ 6/5 $

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית $ \ {\frac {1}{1+e^{-x}}} $. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, $ \ \mu $ ו- $ \ s $. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-$ \ \mu $ ומכווצת פי $ \ s $: $ F_{X}(x)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\! $

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו: $ \ f_{X}(x)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})^{2}}} $. למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \mu , ושונות $ \ {\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}} $.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא : $ h(x)={\frac {1}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})}}\! $

שימושים

• בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
• באקולוגיה משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
• באפידמיולוגיה - לתיאור התפשטות מגפות.
• בפסיכולוגיה - לתיאור תהליכי למידה.
• תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות לוגיסטית בוויקישיתוף

• התפלגות לוגיסטית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות לוגיסטית28022049Q589603