תהליך פואסון
תהליך פואסון הוא תהליך אקראי, הסופר התרחשויות אקראיות ובלתי תלויות המתרחשות בזו אחר זו. דוגמאות לתהליכים כאלה הן התפרקות רדיואקטיבית, או שיחות טלפון העוברות דרך מרכזיה. במקרים כאלה, התפלגות הזמן בין שני מאורעות עוקבים היא התפלגות מעריכית, ואילו התפלגות מספר המאורעות המתרחשים בפרק זמן נתון היא התפלגות פואסון.
הגדרה מתמטית
מתמטית, תהליך פואסון הוא תהליך המקיים את הדרישות הבאות:
- אי תלות: מספר ההתרחשויות בפרק זמן מסוים אינו תלוי במספר ההתרחשויות בפרק זמן אחר, עבור כל שני פרקי זמן שאין ביניהם חפיפה.
- עבור פרק זמן קצר מספיק, ההסתברות להתרחשות אחת בדיוק פרופורציונית לאורך פרק הזמן, וביחס אליה ההסתברות למספר גדול יותר של התרחשויות שואף לאפס. פורמלית: כאשר האורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau} של פרק הזמן שואף לאפס, ההסתברות להתרחשות אחת בדיוק באותו פרק זמן היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C \tau + o(\tau)} עבור C קבוע, וההסתברות למספר התרחשויות גדול מאחת היא (ראו o קטן). משמעות תנאי זה היא שהתרחשויות שונות אינן קורות בו זמנית, אלא תמיד מפריד ביניהן זמן סופי.
תהליכים הומוגניים ולא הומוגניים
תהליך פואסון הומוגני הוא תהליך בו התפלגות מספר המאורעות בפרק מזמן מסוים תלויה רק באורכו של פרק הזמן. תהליך כזה מאופיין על ידי פרמטר λ כך ש-:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(t)} הוא מספר ההתרחשויות עד זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t } , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P} מציין הסתברות.
בתהליך פואסון לא הומוגני, התפלגות צפיפות המאורעות משתנה כפונקציה של הזמן. במקרה זה, התפלגות מספר המאורעות בין שני זמנים נתונים תתפלג פואסונית עם פרמטר השווה ל-:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{t_1,t_2} = \int_{t_1}^{t_2} \lambda(t)\,dt.}
(האינטגרל מחליף את המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda \tau} המופיעה בתהליך ההומוגני).
דוגמאות לתהליכי פואסון
שירות לקוחות
בתור עומדים לקוחות, ומקבלים שירות מפקיד אחד. זמן הטיפול בלקוח הוא מעריכי, עם תוחלת קבועה. מיד לאחר שהלקוח מסיים את ענייניו, הוא מפנה את התור, ובמקומו נכנס הלקוח הבא. התרחשויות אלה מהוות תהליך פואסון: משך הזמן בין כל שתי התרחשויות מתפלג מעריכי, ומספר ההתרחשויות פואסוני.
בליעת אור על ידי חומר
תהליך של בליעת קרינה על ידי חומר הוא תהליך פואסון. נתבונן בניסוי שבו אטומים חשופים לקרן אור. עוצמת האור, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I } , מתארת את מספר הפוטונים העוברים ביחידת זמן, ליחידת שטח. קצב הבליעה של פוטונים על ידי האטומים פרופורציוני לעוצמת האור כפול חתך הפעולה של האטום, המסומן (ניתן לחשוב עליו כמו השטח של האטום בו צריך לפגוע פוטון כדי שתתרחש בליעה). במקרה שמספר האטומים המוקרנים הוא גדול, תהליכי הבליעה אינם תלויים זה בזה והתהליך הוא תהליך פואסון, בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k } מציין את מספר הפוטונים, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I \sigma = \lambda} .
כך לדוגמה הסיכוי לבליעת פוטון בודד (ורק פוטון אחד) בפרק זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau } כתלות בעוצמת האור הינו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(I) = \sigma I \tau e^{- \sigma I \tau} } . (המתקבל מהתפלגות פואסון על ידי הצבה k=1). ניתן לראות שבעוצמות לייזר נמוכות ההסתברות הזאת ליניארית עם עוצמת הלייזר. לעומת זאת בעוצמות גבוהות מאד ההסתברות דועכת ל-0 מכיוון שבעוצמות גבוהות יש הסתברות גבוהה לבלוע יותר מפוטון אחד. דוגמה נוספת היא חישוב ההסתברות לבלוע לפחות פוטון אחד. את ההסתברות הזאת ניתן לקבל כאחד פחות ההסתברות לא לבלוע אף פוטון (המתקבלת על ידי הצבה k=0), כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(I) = 1-e^{-\sigma I \tau} } . מכאן שבעוצמות אור נמוכות הסיכוי לבליעת לפחות פוטון אחד הוא ליניארי, ולעומת זאת בעוצמות גבוהות מגיעים לרוויה: הסיכוי לבליעת לפחות פוטון אחד הוא כמעט 1.