אפיגרף (מתמטיקה)
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, היפוגרף של פונקציה $ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} $ הוא קבוצה של הנקודות הנמצאות מעל גרף הפונקציה או עליו:
- $ {\text{epi}}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1} $
האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:
- $ {\text{epi}}_{S}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu >f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1} $
הגדרה זהה קיימת לפונקציה שערכיה מהתחום $ \mathbb {R} \cup \infty $ , ובמקרה זה, האפיגרף הוא הקבוצה הריקה אם ורק אם $ f $ זהה לאינסוף ($ f\equiv -\infty $). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף.
מאפיינים של האפיגרף הם:
- פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
- פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף של הוא קבוצה סגורה.