אפיגרף (מתמטיקה)

פונקציה (בשחור) והאפיגרף שלה (בירוק)

במתמטיקה, היפוגרף של פונקציה $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ הוא קבוצה של הנקודות הנמצאות מעל גרף הפונקציה או עליו:

${\text{epi}}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$

האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:

${\text{epi}}_{S}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu >f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$

הגדרה זהה קיימת לפונקציה שערכיה מהתחום $\mathbb {R} \cup \infty$ , ובמקרה זה, האפיגרף הוא הקבוצה הריקה אם ורק אם $f$ זהה לאינסוף ($f\equiv -\infty$). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף.

מאפיינים של האפיגרף הם:

• פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף של הוא קבוצה סגורה.