אפיגרף (מתמטיקה)

פונקציה (בשחור) והאפיגרף שלה (בירוק)

במתמטיקה, היפוגרף של פונקציה $ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} $ הוא קבוצה של הנקודות הנמצאות מעל גרף הפונקציה או עליו:

$ {\text{epi}}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1} $

האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:

$ {\text{epi}}_{S}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu >f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1} $

הגדרה זהה קיימת לפונקציה שערכיה מהתחום $ \mathbb {R} \cup \infty $ , ובמקרה זה, האפיגרף הוא הקבוצה הריקה אם ורק אם $ f $ זהה לאינסוף ($ f\equiv -\infty $). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף.

מאפיינים של האפיגרף הם:

• פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף של הוא קבוצה סגורה.