אי-שוויון קושי-שוורץ

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי־שוויון קושי-שוורץ הוא אי־שוויון הקושר את המכפלה הפנימית והנורמה במרחבי מכפלה פנימית. מכיוון שמרחבים וקטוריים רבים מצוידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי־שוויון קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית.

היסטוריה

הגרסה הראשונה של האי־שוויון, אותה גילה אוגוסטין קושי ב־1821, קובעת כי

$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\leq {\sqrt {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}{\sqrt {b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}}}$$

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n} הם מספרים ממשיים. לאי־שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)} פרופורציוניים זה לזה (תלויים ליניארית).

ב־1859 הציג ויקטור יקובלביץ' בוניקובסקי (1804–1889) את הגרסה האינטגרלית של האי־שוויון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_a^b f(x)g(x)dx\le\sqrt{\int\limits_a^b f(x)^2dx}\sqrt{\int\limits_a^b g(x)^2dx}}

בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של האי־שוויון החדש, והסתפק בציטוט האי־שוויון של קושי.

ב־1885 הזדקק הרמן שוורץ, שישב אז באוניברסיטת גטינגן, לאי־שוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint f\cdot g\le\sqrt{\iint f^2}\sqrt{\iint g^2}} , המשווה בין אינטגרלים כפולים. מאוחר יותר הובנו שלושה אי־שוויונות אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל מרחב מכפלה פנימית (ראו להלן).

שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי־שוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של פולינום ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא האי־שוויון הכללי אי־שוויון קושי-שוורץ.

האי־שוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים

בצורתו המודרנית, אי־שוויון קושי-שוורץ קובע שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} הוא מרחב מכפלה פנימית (מעל הממשיים או המרוכבים), אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\in V} מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\langle x,y\rangle|\le\|x\|\cdot\|y\|}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}} הנורמה המושרית על $V$ מן המכפלה הפנימית. שוויון ממש מתקיים אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} תלויים ליניארית.

אחת התוצאות החשובות של אי־שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר זווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} בין שני וקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} במרחב מכפלה פנימית לפי המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\theta)=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}} , שהרי שבר זה מהווה מקדם מתאם בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ולכן ערכו נע בין 1- ל־1. במקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית במישור האוקלידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^2} או במרחב התלת־ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.

בין המקרים הפרטיים של האי־שוויון, ניתן למצוא את הטענות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\displaystyle\left(\sum_{k\,=\,1}^nx_k y_k\right)^2\le\sum_{k\,=\,1}^nx_k^2\cdot\sum_{k\,=\,1}^ny_k^2\\\displaystyle\left|\int f(x)\overline{g(x)}dx\right|^2\le\int|f(x)|^2dx\cdot\int|g(x)|^2dx\end{matrix}}

המתקבלות מן המקרים $V=\mathbb {R} ^{n},V=L^{2}(X)$ (המרחב L2) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.

הוכחת האי־שוויון

אם אחד הווקטורים שווה ל־0, האי־שוויון מתקיים באופן טריוויאלי כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\ne0} .

כעת יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\in\R} . ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.

נפתח את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x+\lambda\langle x,y\rangle y\|^2} . פיתוח ביטוי זה יתן לנו משוואה ריבועית ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} , ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי אי־שלילי, נוכל להסיק מכך שהדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית אי־חיובית. מהאי־שוויון המתקבל נקבל את אי־שוויון קושי-שוורץ.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}0&\le\Big\|x+\lambda\langle x,y\rangle y\Big\|^2\\&=\Big\langle x+\lambda\langle x,y\rangle y,x+\lambda\langle x,y\rangle y\Big\rangle\\&=\langle x,x\rangle+\overline{\lambda\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\langle y,x\rangle+\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\langle y,y\rangle\\&=\|x\|^2+\lambda\overline{\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\overline{\langle x,y\rangle}+\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\|y\|^2\\&=\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\|y\|^2+2|\langle x,y\rangle|^2\lambda+\|x\|^2\end{align}}

הפרבולה המיוצגת על ידי המשוואה נוגעת בציר X לכל היותר אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר. על כן נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4|\langle x,y\rangle|^4-4|\langle x,y\rangle|^2\|x\|^2\|y\|^2\le0} .

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle x,y\rangle=0} האי־שוויון מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle x,y\rangle\ne0} , ולאחר העברת אגפים וחלוקה ב־$4|\langle x,y\rangle |^{2}$ נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\langle x,y\rangle|^2\le\|x\|^2\|y\|^2}

הוצאת שורש ריבועי משני האגפים נותנת לנו את אי־שוויון קושי-שוורץ.

הוכחה נוספת

יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x,y\isin V} שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השוויון. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=0} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y=0} , ברור כי מתקיים שוויון. נניח מעתה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\ne0} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y\ne0} . נגדיר את הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u} באופן הבא: $u=x-{\frac {\langle x,y\rangle \cdot y}{\|y\|^{2}}}$. נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u} ניצב ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} : שני וקטורים הם ניצבים אם ורק אם המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle u,y \right\rangle = \left\langle x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},y \right\rangle = \left\langle x, y\right\rangle - \frac{\langle x,y\rangle\cdot \langle y,y\rangle } {\|y\|^2} = }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \left\langle x, y\right\rangle - \frac{\langle x,y\rangle\cdot \|y\|^2}{\|y\|^2} = \left\langle x, y\right\rangle -\langle x,y\rangle = 0 }

מכאן, נחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|u\|^2 = \left\langle u,u \right\rangle } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle u,u \right\rangle = \left\langle u,x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2} \right\rangle = \left\langle u,x \right\rangle - \left\langle u,\frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2} \right\rangle = }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad =\left\langle u,x \right\rangle - \frac{\overline{\langle x,y\rangle}\cdot\left\langle u,y\right\rangle}{\|y\|^2} = \left\langle u,x \right\rangle }

ומכאן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle u,u \right\rangle = \left\langle u,x \right\rangle = \left\langle x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x \right\rangle = \left\langle x,x \right\rangle - \left\langle \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x \right\rangle = }

$=\left\langle x,x\right\rangle -{\frac {\langle x,y\rangle \cdot \left\langle y,x\right\rangle }{\|y\|^{2}}}=\left\|x\right\|^{2}-{\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}$

כלומר, הראינו כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\le\|u\|^2\ = \|x\|^2 - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}}

ומכאן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\langle x,y\rangle|^2\le \|x\|^2\|y\|^2} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|} .

(הוכחה זו תקפה רק עבור מרחבי מכפלה פנימיים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}} )

אי שוויון המשולש

אי שוויון המשולש במרחבים נורמיים בהם הנורמה מושרית ממרחב מכפלה פנימית, נובע מאי שוויון קושי-שוורץ:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle | \langle x,y\rangle | \le \|x\|\|y\| }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 | \langle x,y\rangle | \le 2\|x\|\|y\| }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = ( \| x\| +\| y\| )^2 }

לפי הגדרת הנורמה במרחבי מכפלה פנימית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\|x + y\|}^2 = \langle {x+y},{x+y}\rangle}

נפתח את הביטוי על ידי שימוש בתכונות המכפלה הפנימית ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle {x+y},{x+y}\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y \rangle = \| x\| ^2 + \langle x,y\rangle +\overline {\langle x,y\rangle} + \|y\| ^2 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad = \| x\| ^2 + 2 Re \langle x,y\rangle + \|y\| ^2 \le \| x\| ^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\| ^2}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\|x + y\|}^2 \le \|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2 \le {(\|x\|+\|y\|)}^2 }

בשני האגפים מופיע מספר אי-שלילי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \|x + y\| \le \|x\|+\|y\| }

ראו גם

• אי-שוויון הולדר
• אי-שוויון מינקובסקי
• אי-שוויון המשולש

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון קושי-שוורץ, באתר MathWorld (באנגלית)
• אי-שוויון קושי-שוורץ, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34565042אי-שוויון קושי-שוורץ