אי-שוויון מינקובסקי
באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה $ p $ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.
בממד סופי
עבור $ p\geq 1 $, מגדירים את נורמת $ {\ell }_{p} $ של וקטור $ x\in \mathbb {R} ^{n} $ לפי הנוסחה $ ||{\overrightarrow {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}}} $.
אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: $ ||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p} $, לכל שני וקטורים $ x,y\in \mathbb {R} ^{n} $.
חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת $ {\ell }_{p} $ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.
הוכחה
נוכיח את נכונות אי-השוויון.
לפי אי-שוויון המשולש:
$ {{||x+y||}_{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}||{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq \sum _{i=1}^{n}{{(|{x}_{i}|+|{y}_{i}|)\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}} $
כעת, לפי אי-שוויון הולדר:
$ \sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{q(p-1)}}]}^{\frac {1}{q}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}]}^{\frac {p-1}{p}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1} $
ולכן: $ {{||x+y||}_{p}}^{p}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1} $, ולאחר צמצום נקבל $ {{||x+y||}_{p}}\leq {||x||}_{p}+{||y||}_{p} $.
בתורת המידה
ערך מורחב – מרחב Lp
בתורת המידה, נורמה-$ p $ של פונקציה על מרחב מידה $ (X,S,\mu ) $ מוגדרת כך - $ ||f||_{p}=(\int _{X}{|f|^{p}d\mu })^{\frac {1}{p}} $. המרחב $ L^{p}(X) $ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן $ ||f||_{p}<\infty $; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).
באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - $ ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p} $, ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה $ p=2 $ מתקבל מרחב הילברט $ L^{2}(X) $.
המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי $ L^{p} $; הוא מתקבל עבור המרחב $ L^{p}(X_{n},P(X_{n}),\#) $, כאשר $ X_{n}=\{1,...,n\} $ ו-$ \# $ היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).
ראו גם
קישורים חיצוניים
- אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)
אי-שוויון מינקובסקי31312589Q755092