אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא-אמיתי (או אינטגרל מוכלל) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא-סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים.

באופן אינטואיטיבי, ברור כי שטח של פונקציה לא-חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח המכסה קבוצה לא-חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול המוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית

אינטגרל מוכלל של פונקציה לא-חסומה

כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא-אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי-פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא-אמיתיים של פונקציות לא-חסומות

ניסוח פורמלי

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)$ ובלתי-חסומה שם. אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל וקיים הגבול ${\begin{aligned}\lim _{t\to b^{-}}\int \limits _{a}^{t}f(x)dx\end{aligned}}$ , אזי נאמר כי $f$ אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע $[a,b)$ והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל (או האינטגרל הלא-אמיתי) של $f$ בקטע $[a,b)$ וסימונו יהיה $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ .

כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: יהי $a>0$ . חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי ${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{a}{\frac {dx}{x^{t}}}\end{aligned}}$ מתכנס אם ורק אם $t<1$ .

אינטגרביליות בהחלט

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)$ ובלתי-חסומה שם. אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל והאינטגרל $\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$ מתכנס, אז נאמר כי $f$ אינטגרבילית בהחלט בקטע.

כמו כן נאמר כי האינטגרל $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $(a,b)$ . אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל וקיים $c$ בקטע כך שהאינטגרלים ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{c}f(x)dx,\int \limits _{d}^{c}f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנסים, אזי נאמר כי $f$ אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע הנ"ל.

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)$ , בלתי-חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל.

אזי $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $d>c$ בקטע $(b-\delta ,b)$ מתקיים ${\begin{aligned}{\bigg |}\int \limits _{c}^{d}f(x)dx{\bigg |}<\varepsilon \end{aligned}}$ .

מבחן ההשוואה

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה $f,g$ פונקציות המוגדרת בקטע $[a,b)$ ובלתי-חסומות שם. אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל וקיימת סביבה שמאלית של $b$ בה מתקיים $0\leq f(x)\leq g(x)$ , אזי:

• אם $\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.
• אם $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר אז גם $\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה $f,g$ פונקציות חיוביות המוגדרות בקטע $[a,b)$ ובלתי-חסומות שם. אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל וקיים הגבול $\lim _{x\to b^{-}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\neq 0$ ,

אזי האינטגרלים ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx,\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\end{aligned}}$ מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

• אם $\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.
• אם $\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר אז גם $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר.

אינטגרלים לא-אמיתיים בקטעים אינסופיים

ניסוח פורמלי

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,\infty )$ , ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל.

אם קיים הגבול ${\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\int \limits _{a}^{t}f(x)dx\end{aligned}}$ , אזי נאמר כי $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,\infty )$ והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל של $f$ בקטע הנ"ל וסימונו יהיה ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ .

כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: האינטגרל ${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$ מתכנס שכן,

${\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan(t)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

אינטגרביליות בהחלט

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,\infty )$ . אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל והאינטגרל $\int \limits _{a}^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$ מתכנס, אזי נאמר כי $f$ אינטגרבילית בהחלט בקטע.

כמו כן נאמר כי האינטגרל ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם היא אינטגרבילית בהחלט אזי היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת ב-$\mathbb {R}$ ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים $a$ כך שהאינטגרלים ${\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx,\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנסים, אזי נאמר כי $f$ אינטגרבילית ב-$\mathbb {R}$ .

מבחני התכנסות

מבחן קושי

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,\infty )$ , בלתי-חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל.

אזי ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $M>0$ כך שלכל $c>b>M$ מתקיים ${\begin{aligned}{\bigg |}\int \limits _{b}^{c}f(x)dx{\bigg |}<\varepsilon \end{aligned}}$ .

מבחן ההשוואה

תהיינה $f,g$ פונקציות המוגדרות בקטע $[a,\infty )$ ובלתי-חסומות שם. אם $f$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל וקיים $b$ בקטע כך שלכל $x>b$ מתקיים $0\leq f(x)\leq g(x)$ , אזי:

• אם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס אז גם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס.
• אם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתבדר אז גם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx\end{aligned}}$ מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה $f,g$ פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע $[a,\infty )$ . אם קיים הגבול $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}\neq 0$ , אזי האינטגרלים ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx,\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx\end{aligned}}$ מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

• אם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס אז גם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

• אם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx\end{aligned}}$ מתבדר אז גם ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$ מתבדר.

מבחן דיריכלה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.

תהיינה $f,g$ פונקציות רציפות בקטע $[a,\infty )$ . אם מתקיים:

• $f$ מונוטונית יורדת בקטע הנ"ל
• $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$
• הפונקציה ${\begin{aligned}G(x)=\int \limits _{a}^{x}g(t)dt\end{aligned}}$ חסומה בקטע הנ"ל

אזי האינטגרל ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx\end{aligned}}$ מתכנס.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0