מבחן דיריכלה

ערך זה עוסק במבחן התכנסות לטורים. אם התכוונתם למשפט בתורת המספרים, ראו משפט דיריכלה.

במתמטיקה, מבחן דיריכלה הוא שיטת בדיקה להתכנסות של טורים. הוא נקרא על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה שתיארו לראשונה, ופורסם לאחר מותו, בשנת 1862 כחלק ממאמר פרי עטו.

המבחן

המבחן קובע כי אם $\{a_{n}\}$ היא סדרה של מספרים ממשיים ו- $\{b_{n}\}$ היא סדרה של מספרים מרוכבים, והן מקיימות:

$a_{n}\geq a_{n+1}$
$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$
$\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ לכל מספר טבעי N

כאשר M הוא קבוע מסוים, אז הטור:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

מתכנס.

הוכחה

יהיו $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}$ ו- $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$ .

מביצוע סכימה בחלקים, נקבל: $S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=0}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ .

כיוון ש- $B_{n}$ חסום על ידי M ו- $a_{n}\rightarrow 0$ , הראשון באיברים באגף ימין של הביטוי לעיל שווה לאפס, דהיינו $a_{n+1}B_{n}\to 0$ כש- $n\rightarrow \infty$ .

בנוסף, כיוון שהסדרה $a_{n}$ היא מונוטונית לא עולה, $a_{k}-a_{k+1}$ חיובי לכל k, לכן $|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})$ . כלומר, גודלו של הסכום החלקי של B_n כפול פקטור משתנה מסוים, קטן או שווה לחסם העליון של הסכום החלקי של B_n כפול אותו הגורם.

אולם $\sum _{k=0}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})$ , ולכן הטור הוא טור טלסקופי ששווה $M(a_{0}-a_{n+1})$ , ולפיכך מתכנס ל- $Ma_{0}$ כש- $n\rightarrow \infty$ . לכן, $\sum _{k=0}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})$ מתכנס.

מכך נובע איפוא, ש- $\sum _{k=0}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|$ מתכנס גם כן כתוצאה ישירה של מבחן ההשוואה.

מ.ש.ל

יישומים

מקרה פרטי מיוחד מסוים של מבחן דיריכלה הוא מבחן לייבניץ המפורסם יותר, במקרה בו:

$b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1$ .

תוצאה נוספת הנובעת ממבחן דיריכלה היא ש- $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n$ מתכנס כאשר $\{a_{n}\}$ היא סדרה יורדת השואפת לאפס (ההנחה שטור הסינוסים חסום הוא תוצאה ישירה של קיום חסם על הסכימה $\sum _{n=1}^{N}e^{in}$ כש-i היחידה המדומה).