נקודת מרכז

אחד הכלים הבסיסיים לחקירת קבוצה במרחב טופולוגי הוא המושג 'נקודת פנים': נקודה שקיימת לה סביבה שכולה מוכלת בקבוצה. נקודת מרכז היא מושג אנלוגי, המתאים לקבוצות במרחב וקטורי:

נקודה x בקבוצה K היא נקודת מרכז, אם לכל כיוון y קיים קטע פתוח $\ (x,x+\varepsilon y)$ , $\ \varepsilon >0$ , המוכל כולו בקבוצה.

מושג זה רלוונטי במיוחד במרחבים נורמיים, כאשר הוא מהווה תנאי חלש יותר מזה של נקודות פנים (כל נקודת פנים היא נקודת מרכז, אבל לא להפך). מאחר שההגדרה מיוסדת על קטעים ישרים, היא קשורה באופן הדוק לקמירות של קבוצות.

לקבוצת כל נקודות המרכז של K קוראים "המרכז של K" ומסמנים $\ {\mbox{cent}}(K)$ , או באות c מעל שם הקבוצה.

מכיוון שההגדרה מבוססת על קטעים ישרים, העתקות ליניאריות שומרות על המרכז: אם $\ T:U\rightarrow V$ העתקה ליניארית פתוחה, ו- $\ K\subset U$ , אזי $\ T({\mbox{cent}}(K))={\mbox{cent}}(T(K))$ . מסיבה זו, המושג שימושי למדי באנליזה פונקציונלית, ובפרט כאשר רוצים להוכיח שתמונה או תמונה הפוכה של אופרטור ליניארי היא פתוחה.

**איור 2:** דוגמה נגדית, נקודת מרכז שאיננה נקודת פנים.

אף על פי שכל נקודת פנים היא נקודת מרכז, ההפך אינו נכון. תהי K הקבוצה הבאה

\ K=\left\{x(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ r\leq \theta \,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \right\}

(זוהי למעשה הצגה בקואורדינטות קוטביות). קל לוודא ש-0 היא אכן נקודת מרכז אך ברור שהיא איננה נקודת פנים. איור 2 מדגים זאת היטב. כל השטח הצבוע באדום הוא הקבוצה K. כעת, יהי D כדור ברדיוס R > 0 מסביב ל-0. אזי קיים $\ 0<\theta _{0}<R/2$ וכעת נסתכל על הנקודה $x(3R/4,\theta _{0})$ (זוהי נקודה ברדיוס 3R/4 וזווית $\theta _{0}$ ביחס לציר ה-X). ברור מהגדרת K שנקודה זו איננה ב-K. ברם, היא כן שייכת לכדור D. לכן הכדור D איננו מוכל ב-K. טיעון זה נכון לכל כדור פתוח (שכן רדיוס הכדור תמיד חיובי ממש!).

משפטים שימושיים

כל נקודת פנים היא נקודת מרכז.
המרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת הזזה, כלומר: $\ {\mbox{cent}}(K+a)={\mbox{cent}}(K)+a$ .
תהי K קבוצה קמורה ו $\ x\in {\mbox{cent}}(K)\,\ y\in K$ . אזי הקטע $\ [x,y)\subset {\mbox{cent}}(K)$ מוכל במרכז של K.
משפט ליפשיץ: עבור קבוצה $\sigma$ -קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה). כלומר: $\ {\mbox{cent}}(K)={\mbox{int}}(K)={\mbox{int}}({\overline {K}})={\mbox{cent}}({\overline {K}})$ .
בכדור פתוח, הפנים של קבוצה שווה למרכז שלה.