התפלגות מעריכית

התפלגות מעריכית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda>0}
תומך	$x\in [0,\infty )\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\lambda e^{-\lambda x}}
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 - e^{-\lambda x}}
תוחלת	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda^{-1}\,}
סטיית תקן	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda^{-1} }
חציון	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(2)/\lambda\,}
ערך שכיח	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\,}
שונות	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda^{-2}\,}
אנטרופיה	$1-\ln(\lambda )\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,}
צידוד	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2}
גבנוניות	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 6}

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות מעריכית (או התפלגות אקספוננציאלית, Exponential Distribution), היא התפלגות רציפה על המספרים האי־שליליים.

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה שהיא חסרת זיכרון, והיא מאופיינת באופן מלא על ידי תכונה זו. משכך, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון התפרקות רדיואקטיבית או הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי.

הגדרה

פונקציית צפיפות

התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &\; x \ge 0 \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! \lambda > 0} פרמטר ההתפלגות, המכונה גם קצב או קבוע דעיכה.

ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\tau = 1/\lambda > 0} . במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\tau} e^{-x/\tau} &\; x \ge 0 \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.}

משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X } המתפלג מעריכית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda } מסומן בדרך כלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X \sim \textrm{exp}(\lambda) } . הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\![0, \infty)} .

פונקציית התפלגות מצטברת

ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה, שהיא

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.$

שימושים

ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע. דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן

• הגעת שיחות למרכזיית טלפונים
• פליטה של חלקיקים במהלך התפרקות רדיואקטיבית
• תקלות במערכת אלקטרונית
• קצב התפשטות מגפה

מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעיתים קרובות כתהליכי פואסון הומוגניים בזמן, שבהם הזמן הבין־מופעי מתפלג מעריכית.

בתורת התורים (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור זמן השירות. תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כשרשראות מרקוב, וקל יחסית לנתח את התנהגותן.

בתורת האמינות (Reliability Theory) ובניתוח שרידות (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה.

בפיזיקה סטטיסטית, במערכות שבהן האנרגיה יכולה לקבל ערכים רציפים והאנרגיה הכלולת של המערכת ידועה (כלומר, בצבר הקנוני), התפלגות האנרגיה היא התפלגות מעריכית עם פרמטר התפלגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=\frac{1}{k_b T}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k_b} הוא קבוע בולצמן. התפלגות ז ו נקראת גם התפלגות בולצמן. לדוגמה, האנרגיה הקינטית של מולקולות גז בטמפרטורה נתונה מתפלגת מעריכית. עובדה זו נובעת מתכונת האנטרופיה המקסימלית המתוארת להלן.

תכונות

תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X \sim \textrm{exp}(\lambda) } , הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!E(X) = 1/\lambda} ; השונות היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Var}(X) = 1/\lambda^2\,\!} .

תכונת חוסר הזיכרון

משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s, t \ge 0 } מתקיים כי

$\,\!P(X>s+t\;|\;X>s)=P(X>t)$

בניסוח אחר: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X \sim \textrm{exp}(\lambda) } , אז ההתפלגות המותנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X - s} , בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X > s} , גם היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\textrm{exp}(\lambda) } .

המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון. אפשר לראות זאת כך. נניח התפלגות חסרת זיכרון. היא צריכה לקיים את התכונה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!P(X > s + t\; |\; X > s) = {P(X > s + t\; ,\; X > s ) \over P(X > s )} = {P(X > s + t) \over P(X > s )} = P(X > t) }

מכאן נקבל את הדרישה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(X > s + t) = P(X > s)P(x > t).}

נתבונן, לכן, בפונקציה המקיימת

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(s + t) = f(s)f(t).}

נציב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = 0} ונקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(s + 0) = f(s) = f(s)f(0),}

ומכאן נסיק

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0) = 1} .

נקח שוב את השוויון המקורי, ונחסר מכל אגף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(s)} :

$f(s+t)-f(s)=f(s)f(t)-f(s)=f(s)(f(t)-1)=f(s)(f(t)-f(0)).$

נחלק ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} ונשאיפו ל0:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}{f(s + t) -f(s) \over t}= \lim_{t \rightarrow 0} f(s){f(t) - f(0) \over t}.}

מכאן קיבלנו את המד"ר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(s) = f(s)f'(0).}

תחת הנחות קלות למדי, פתרון משוואה זו הוא פונקציה מעריכית.

שברונים

החציון של משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathrm{exp}(\lambda)} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\ln(2)/\lambda} . גודל זה נקרא לעיתים זמן מחצית חיים.

באופן כללי יותר, השברון (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא

$\,\!F^{-1}(p)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-p),\qquad 0\leq p<1$

התפלגות המינימום

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_1, \ldots, X_n} הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים, כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_i \sim \textrm{exp}(\lambda_i)} , אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda_1 + \cdots + \lambda_n} , כלומר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\min( X_1, \ldots , X_n) \sim \exp \left( \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} \right)}

בפרט, המינימום של n משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda} הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!n\lambda} .

התפלגות המקסימום

המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים לא מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_1, \ldots, X_n} הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_i \sim \textrm{exp}(\lambda_i)} , ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X = \max(X_1,\ldots,X_n)} , אז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!P(X \leq x) = \Pi_{i=1}^{n}(1 - e^{-\lambda_i x})}

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_i \sim \mathrm{exp}(\lambda)} (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!P(X \leq x) = (1 - e^{-\lambda x})^{n}, \qquad E(X) = \frac1{\lambda}\left(1 + \frac1{2} + \frac1{3} + \cdots + \frac1{n}\right)}

אנטרופיה מקסימלית

מבין כל ההתפלגויות הרציפות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\![0, \infty)} שהתוחלת שלהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mu} , ההתפלגות המעריכית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda = 1/\mu} היא בעלת אנטרופיה מקסימלית.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda} .

קשר להתפלגויות אחרות

התפלגות גאומטרית

ההתפלגות המעריכית היא במובן מסוים גבול של ההתפלגות הגאומטרית: נניח שעורכים סידרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/n} , והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda/n\,\!} . אזי מספר הניסוי בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda/n} ), ואילו הזמן עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאינסוף, מתכנס (בהתפלגות) להתפלגות מעריכית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\lambda} .

כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! X \sim \textrm{exp}(\lambda)} , אז הערך השלם העליון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , המסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lceil X \rceil} ), מתפלג גאומטרית עם פרמטר $\,\!1-e^{-\lambda }$.

התפלגות פואסון

אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(\lambda)} , אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג פואסונית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda t} . תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן).

כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(\lambda)} , ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y שנשרפות עד זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda t} , כלומר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!P( Y = y) = \frac{ e^{-\lambda t} (\lambda t)^y}{y!}}

התפלגות גמא והתפלגות ארלנג

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Gamma}(\lambda, 1)\!} (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(\lambda)} . היות שהתפלגות גמא עם פרמטר צורה שלם נקראת לעיתים התפלגות ארלנג על שם ממציאה אגנר קרוייף ארלנג, ההתפלגות המעריכית היא גם מקרה פרטי של התפלגות ארלנג.

הסכום של n משתנים מקריים בלתי תלויים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(\lambda)} מתפלג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{Gamma}(n, \lambda)} .

התפלגות אחידה

אם U הוא משתנה מקרי רציף המתפלג אחיד על הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,1)} , אז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! -\frac{\ln(U)}{\lambda}\sim \mathrm{exp}(\lambda)}

זהו מקרה פרטי של דגימה מטרנספורמציה הופכית, ועל בסיס תוצאה זו ניתן לחולל ("להגריל") מספרים מקריים מעריכיים, לצורכי סימולציה ממוחשבת.

התפלגות כי בריבוע

ההתפלגות המעריכית עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda = 1/2} היא מקרה פרטי של התפלגות כי בריבוע: משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\chi^2_2} (כלומר עם שתי דרגות חופש) הוא משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(1/2)} .

התפלגות וייבול

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות וייבול: משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{Weibull}(\lambda, 1)} (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\mathrm{exp}(\lambda)} .

התפלגות לפלס

התפלגות לפלס, הנקראת גם "התפלגות מעריכית כפולה", היא ההתפלגות של ההפרש בין שני משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר. כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_1, X_2, \sim \mathrm{exp}(\lambda)} הם בלתי תלויים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!X_1 - X_2} מתפלג התפלגות לפלס.

אמידה

בהינתן מדגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!x_1, x_2, \ldots, x_n} של תצפיות בלתי תלויות מהתפלגות מעריכית בעלת פרמטר לא ידוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} , אומד הנראות המרבית הוא ההופכי של ממוצע התצפיות, כלומר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\!\widehat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}}

אותו אומד בדיוק מתקבל גם בשיטת המומנטים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות מעריכית בוויקישיתוף