התפלגות ברנולי
מאפיינים |
---|
פרמטרים |
– ההסתברות ל"הצלחה"
 |
---|
תומך |
 |
---|
פונקציית הסתברות (pmf) |
  |
---|
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) |
 |
---|
תוחלת |
 |
---|
סטיית תקן |
 |
---|
חציון |
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482cc0f5f8c739e3fe2462d72ee5b9f1f7b5d5a4) |
---|
ערך שכיח |
 |
---|
שונות |
 |
---|
אנטרופיה |
 |
---|
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) |
 |
---|
פונקציה אופיינית |
 |
---|
צידוד |
 |
---|
גבנוניות |
 |
---|
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך
או ערך
בהסתברות
ו-
. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-
(כלומר:
).
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על
היא
, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא
. אם תסומן התוצאה
כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר
.
את העובדה שלמשתנה מקרי
יש התפלגות ברנולי מסמנים
(לעיתים
). והשונות שלו היא
. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה
לכל
(שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־
.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של
משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית,
(ובפרט, ההתפלגות
היא התפלגות ברנולי).
תכונות
אם
הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

פונקציית הסתברות
של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

צורה שקולה לביטוי זה היא:

או:

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור
.
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של
. עבור ערכי
ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של
עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
תוחלת
התוחלת של משתנה מקרי
המתפלג ברנולי היא:
זאת משום שעבור
בו
יחד עם
מתקבל:
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f038543085426f9ffbcccc437181cd7ad954468)
שונות
השונות של משתנה מקרי
המתפלג ברנולי היא:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4e26d8a1fdfb90e91a2fafd5fb3841de88f1fb)
הוכחה
ראשית,
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45205bdc459839eed0329d5d29d02238fbaac13c)
ומכאן:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132628bb357b43b583dd82ca1f93b537526ba1b5)
כמובטח.
קישורים חיצוניים
התפלגות ברנולי30415692Q391371