התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי

מאפיינים
פרמטרים	$ 0\leq p\leq 1 $ – ההסתברות ל"הצלחה" $ q=1-p $
תומך	$ k\in \{0,1\} $
פונקציית הסתברות (pmf)	$ {\begin{cases}q=1-p,&k=0\\p,&k=1\end{cases}} $$ p^{k}q^{1-k}\! $
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$ {\begin{cases}0,&k<0\\1-p,&0\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}} $
תוחלת	$ p $
סטיית תקן	$ {\sqrt {p(1-p)}}={\sqrt {pq}} $
חציון	$ {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}} $
ערך שכיח	$ {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}} $
שונות	$ p(1-p)=pq $
אנטרופיה	$ -q\ln q-p\ln p $
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$ q+pe^{t} $
פונקציה אופיינית	$ q+pe^{it} $
צידוד	$ {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}} $
גבנוניות	$ {\frac {1-6pq}{pq}} $

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך $ X=1 $ או ערך $ X=0 $ בהסתברות $ \Pr(X=1)=p $ ו-$ \Pr(X=0)=1-p $. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-$ q $ (כלומר: $ q=1-p $).

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על $ 6 $ היא$ {\frac {1}{6}} $, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא $ {\frac {5}{6}} $. אם תסומן התוצאה $ 6 $ כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר $ p={\frac {1}{6}} $.

את העובדה שלמשתנה מקרי $ X $ יש התפלגות ברנולי מסמנים $ X\sim \ {\text{b}}(p) $ (לעיתים $ X\sim \ {\text{Bernoulli}}(p) $). והשונות שלו היא $ \operatorname {Var} (X)=p(1-p) $. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה $ X^{n}=X $ לכל $ n $ (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־$ p $.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של $ n $ משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, $ B(n,p) $ (ובפרט, ההתפלגות $ B(1,p) $ היא התפלגות ברנולי).

תכונות

אם $ X $ הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

$ \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q. $

פונקציית הסתברות $ f $ של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

$ f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}} $

צורה שקולה לביטוי זה היא:

$ f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\} $

או:

$ f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}. $

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור $ n=1 $.

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של $ p $. עבור ערכי $ 0\leq p\leq 1 $ ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של $ p $ עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת

התוחלת של משתנה מקרי $ X $ המתפלג ברנולי היא:

$ \mathbb {E} [X]=p $

זאת משום שעבור$ X $ בו $ \Pr(X=1)=p $ יחד עם $ \Pr(X=0)=1-p $ מתקבל:

$ \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p. $

שונות

השונות של משתנה מקרי $ X $ המתפלג ברנולי היא:

$ \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p) $

הוכחה

ראשית,

$ \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p $

ומכאן:

$ \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq $

כמובטח.

קישורים חיצוניים

• התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות ברנולי30415692Q391371