שברון (סטטיסטיקה)
שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן $ 0\leq q\leq 1 $) מהאוכלוסיה.
שברון של משתנה מקרי
יהי $ X\sim F $ משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת $ {\displaystyle F(x)=P\left[X\leq x\right]} $ כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור $ 0\leq q\leq 1 $ הוא הערך $ \xi _{q}\in \mathbb {R} $ כך שמתקיים $ {\displaystyle F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q} $ אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי $ \xi _{q}=F^{-1}(q) $.
שברון של התפלגות אמפירית
נניח שדגמנו $ n $ נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: $ {\displaystyle \min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}} $ ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית: $ {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}} $ השברון ה-q הוא המספר $ \xi _{q} $ ש-$ qn $ מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר $ qn\notin \mathbb {Z} $ איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן $ {\displaystyle m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } $ ואז $ {\displaystyle \xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)} $ אנו רואים שכאשר $ m=qn+1/2\in \mathbb {Z} $ אזי $ \xi _{q}=X_{m} $.
דוגמא
לדוגמה, החציון $ q={\frac {1}{2}} $. עבור n=2k+1 אי-זוגי $ m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+2}{2}}\right\rfloor =k+1 $ ואז $ {\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k+1}} $, ועבור n=2k זוגי נקבל $ m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k $ ואז $ {\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}} $
שברונים שימושיים
מלבד החציון, שהוא השברון $ q=1/2 $, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון $ q=3/4 $ והתחתון $ q=1/4 $, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.
קישורים חיצוניים
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] שברון (סטטיסטיקה)26611158