שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן
) מהאוכלוסיה.
שברון של משתנה מקרי
יהי
משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת
![{\displaystyle F(x)=P\left[X\leq x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9fe8b06160241f6467acc4ce68868306a44116)
כאשר P מסמן
הסתברות. השברון ה-q של X עבור
![{\displaystyle 0\leq q\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4dd7e354bddf3131e391b64a7db0be9b4ac572)
הוא הערך
![{\displaystyle \xi _{q}\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b2061e2580e58251a0d131ca86ae66b67c4c42)
כך שמתקיים
![{\displaystyle F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868708ff31f59b6069804dbed52a84e2fa77e551)
אם F
פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי
![{\displaystyle \xi _{q}=F^{-1}(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ab198c1b2d13afe6b566186504e75a8cc4832c)
.
שברון של התפלגות אמפירית
נניח שדגמנו
נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה:
![{\displaystyle \min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5490b7b1b3be6751c17ffb4f16d616b95c7d0c)
ונצייד את הנתונים ב
התפלגות אמפירית:
![{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c09cc7ce29ef5eebf1d139f3ef4016bdcd1645)
השברון ה-q הוא המספר
![{\displaystyle \xi _{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97644671b8f6a8000b1d11d65812a020122469ce)
ש-
![{\displaystyle qn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85300fad99a78c21c8dc598aa461489bc5aa30b6)
מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר
![{\displaystyle qn\notin \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d7c5f2e852968bb40f5e70a3a5a976a7fe9d84)
איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא
ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן
![{\displaystyle m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbbf0e4904a6851352d0ba4ee6bdcd021dda6ab)
ואז
![{\displaystyle \xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd929a096d551299bc55fc01f79642b7df286c0)
אנו רואים שכאשר
![{\displaystyle m=qn+1/2\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402a5dd6adf7d7dfda839e5b52c2f4ac26f740cc)
אזי
![{\displaystyle \xi _{q}=X_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba145883a48b6c11459e1c6c65f645cac92bd1b6)
.
דוגמא
לדוגמה, החציון
. עבור n=2k+1 אי-זוגי
ואז
![{\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d378e51446d5818c6a7e62efa5dd581cdf5b4bd)
, ועבור n=2k זוגי נקבל
![{\displaystyle m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab51edec08d8ab60e78a376cccea19fc91abaff)
ואז
![{\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd89a2ec663aa0ab92f282458659ba5bf33b616)
שברונים שימושיים
מלבד החציון, שהוא השברון
, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון
והתחתון
, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.
קישורים חיצוניים
26611158שברון (סטטיסטיקה)