חילוק באפס

חילוק באפס היא הפעולה המתמטית של חילוק מספר במספר 0, ותוצאתה לרוב אינה מוגדרת. את הפעולה ניתן לרשום בצורה $\textstyle {\frac {a}{0}}$ .

ברוב תחומי המתמטיקה חילוק מוגדר ככפל במספר הופכי (ההופכי למספר a הוא מספר b כך שמכפלתם ab היא 1). מכיוון שלאפס לא קיים הופכי, בהגדרה, לא ניתן לחלק באפס.

ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של אפס ישירות מהיותו איבר היחידה החיבורי: בזכות הדיסטריבוטיביות של כפל מעל חיבור, לכל $\ a$ מתקיים $a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$ ולכן לפי כלל הצמצום החיבורי (הנובע מכך שלכל איבר יש הופכי חיבורי) $\ a\cdot 0=0$ . מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באפס תתן 1.

גבולות עם חילוק באפס

מקרה ידוע בחשבון אינפיניטסימלי הוא של פונקציות שאינן מוגדרות בנקודה בגלל חילוק באפס. לדוגמה הפונקציה $\ f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$ . לכל $\ x$ שאינו 1 פונקציה זו היא פשוט הפונקציה הליניארית $\ f(x)=x+1$ . אולם בנקודה $\ x=1$ מתקבל חילוק באפס ולכן הפונקציה לא מוגדרת. במקרה הזה נקראת הנקודה נקודת אי רציפות סליקה, שכן ניתן להתעלם מהחילוק באפס ולהגדיר $\ f(1)=2$ ומתקבלת פונקציה רציפה. מקרה חשוב שכזה הוא בפונקציה $\ f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ בנקודה $\ x=0$ . ניתן להוכיח כי נקודה זו היא אי רציפות סליקה וניתן לתקן אותה על ידי ההגדרה $\ f(0)=1$ . לעובדה זו יש חשיבות מכרעת במציאת הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ובקירוב זוויות קטנות.

לא תמיד חילוק באפס בפונקציה תתן נקודת אי רציפות סליקה. בנקודות בהן הפונקציה היא מהצורה $\textstyle {\frac {a}{0}}$ או $\textstyle {\frac {\infty }{0}}$ (כאשר המונה והמכנה מייצגים את הגבול של הפונקציה במונה והפונקציה במכנה בהתאמה; a שונה מאפס) נקודת אי הרציפות תהיה מהסוג השני והפונקציה תשאף בנקודות אלו לאינסוף. רק במקרה $\textstyle {\frac {0}{0}}$ , אז תיתכן כל תוצאה אפשרית לגבול. במקרה כזה שימושי כלל לופיטל.

בתורת החוגים

את הדיון בחילוק באפס במערכות המספרים המקובלות ניתן להכליל למבנים נוספים. הדיון מוגבל למבנים בהם יש איבר הדומה לאפס, ופעולה הדומה לחילוק. איבר אנלוגי לאפס נקרא איבר אפס, והוא דומה לאפס במובן שהוא איבר היחידה ביחס לפעולה הדומה לחיבור. המבנה הפשוט והנפוץ ביותר שיש בו איבר אפס ופעולה דמוית כפל שניתן להגדיר בעזרתה חילוק (ככפל בהופכי, כאשר קיים הופכי) הוא חוג. ההוכחה כי לכל a $\ a\cdot 0=0$ תקפה בכל חוג. בחוג לא טריוויאלי (יש בו יותר מאיבר אחד) איבר האפס עצמו לא יכול להיות איבר היחידה הכפלי ולכן לא קיים לאיבר האפס הופכי. במקרה של החוג הטריוויאלי, הכולל את איבר האפס בלבד שמתפקד גם כאיבר היחידה הכפלי, חילוק באפס כן מוגדר ומתקיים $\textstyle {\frac {0}{0}}=0$ .

באופן כללי בחוג עם יחידה יכולים להיות איברים נוספים שלא ניתן לחלק בהם. האיברים שניתן לחלק בהם נקראים איברים הפיכים. חוג שבו ניתן לחלק בכל איבר מלבד איבר האפס נקרא חוג עם חילוק.

הגדרת חילוק באפס

חלוקה באפס אינה מוגדרת מכיוון שלרוב הגדרת המנה לא תועיל בדבר לחקירה המתמטית ויכולה אף להזיק. אולם בהקשרים מתמטיים מסוימים, נוח להגדיר את תוצאת החילוק באפס, ואין מניעה לעשות זאת.

הישר הפרויקטיבי הממשי הוא הישר הממשי שנוספת לו נקודה נוספת $\ \infty$ . הנקודה הנוספת היא אינסוף חסר סימן (כלומר לא ניתן להגיד שהוא גדול מכל החיוביים או קטן מכל השליליים). במקרה כזה לכל a מתקיים $\textstyle {\frac {a}{0}}=\infty$ וכן $\textstyle {\frac {a}{\infty }}=0$ , מלבד $\textstyle {\frac {0}{0}}$ ו- $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$ שאינם מוגדרים. במובנים רבים הישר הפרויקטיבי הממשי מקלקל את המבנה של המספרים הממשיים, ובפרט הם מפסיקים להיות שדה. בנוסף הוספת אינסוף יוצרת עוד פעולות רבות לא מוגדרות וחילוק כבר אינו הפוך לגמרי לכפל (למשל $\ \infty \cdot 0$ לא מוגדר).