יריעה

לשטח קטן על פני כדור הארץ ניתן להתייחס בקירוב כאל מישור בו סכום הזויות במשולש הוא 180°. באזורים גדולים יותר של פני הכדור מתגלות תכונות אחרות

במתמטיקה, יריעה היא מרחב מתמטי מופשט אשר במבט מקרוב (מבט מקומי) דומה למרחב בעל גאומטריה אוקלידית, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר. שטח פני כדור הארץ הוא דוגמה ליריעה; מקרוב הוא נראה שטוח אך במבט כולל מתגלה צורתו הכדורית. היריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל אחד מהם הוא בעצם קבוצה במרחב האוקלידי שנמתחה או כווצה. אף על פי שבאופן מקומי היריעה דומה למרחב אוקלידי התכונות הכלליות שלה יכולות להיות מאד מפתיעות. לדוגמה, בעוד שבמישור האוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, על פני כדור (שדומה למישור באופן מקומי) ניתן למצוא משולשים עם שלוש זוויות ישרות.

אטלסים ומפות

כאשר עוסקים במבנים טופולוגיים מורכבים, הרבה פעמים נוח לבחון רק חלקים קטנים שלהם, ששם מתקיימות תכונות מעניינות (קומפקטיות מקומית, קשירות מקומית ועוד), ומהסביבות האלו להסיק לגבי תכונות המרחב כולו. מקרה מיוחד, הוא כאשר הסביבות האלו נראות כמו מרחב טופולוגי מוכר אחר – מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים למשל. במקרה כזה אפשר "למפות" את המרחב על ידי קבוצה גדולה (ואפילו אינסופית) של חלקים ממנו שכל אחד מהם נראה כמו המרחב הטופולוגי המוכר (כלומר הומיאומורפי אליו). כל אחד מהחלקים האלו, יחד עם ההומיאומורפיזם שלו למרחב המדובר, נקרא מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס. מקרה חשוב במיוחד הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משוים את החלקים של המרחב המקורי הוא המרחב האוקלידי מממד מסוים. במקרה הזה המבנה נקרא יריעה, וממד היריעה נקבע להיות ממד המרחב האוקלידי שאליו היריעה הומיאומורפית באופן מקומי. כיוון ששני מרחבים אוקלידים הן הומאומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו ממד – ממד היריעה נקבע באופן יחיד.

מקרה חשוב נוסף הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משווים חלקים של המרחב המקורי הוא מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. במקרה הזה היריעה נקראת יריעה מרוכבת וממדה הוא ממד המרחב הווקטורי שאליו היא מושווית. כל יריעה מרוכבת מממד $n$ היא גם יריעה ממשית רגילה מממד $2n$ .

יריעה טופולוגית

יריעה היא מרחב האוסדורף, שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה, בעל התכונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהומיאומורפית ל־$\mathbb {R} ^{n}$ . אותו $n$ מוגדר להיות ממד היריעה.

באופן שקול ניתן לדרוש שקיים אוסף של קבוצות פתוחות המכסה את המרחב, כלומר האיחוד של כל הקבוצות באוסף הוא המרחב כולו, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב-$\mathbb {R} ^{n}$ , (או לחלופין, של כל נקודה שרירותית אחרת ב־$\mathbb {R} ^{n}$ או ל־$\mathbb {R} ^{n}$ עצמו). כל קבוצה בכיסוי, יחד עם ההומיאומורפיזם שלה, נקראת מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי $M$ נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את אקסיומת המנייה השנייה וקיים לו כיסוי פתוח $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ (כאשר $A$ קבוצת אינדקסים) עבורו $U_{\alpha }$ הומיאומורפי לקבוצה פתוחה $V_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}$ . פונקציית ההומיאומורפיזם בין $\ U_{\alpha }$ ל־$V_{\alpha }$ מסומנת ב־$\varphi _{\alpha }$ .

קל לראות שלכל $\alpha ,\beta \in A$ הפונקציה $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ שהיא פונקציה מ־$\mathbb {R} ^{n}$ לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת). הזוג $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס. לכל $\alpha$ , $\varphi _{\alpha }=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ כאשר $x_{i}$ פונקציה חד-חד-ערכית מ־$M$ ל־$\mathbb {R}$ . הפונקציות $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ נקראות קואורדינטות מקומיות של $M$ .

למעשה התנאי ההכרחי לגבי רציפות ההרכבות הוא כמעט מספיק. כלומר בהינתן קבוצה $M$ המכוסה על ידי אוסף $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ בן מנייה, כך שלכל $U_{\alpha }$ קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל $\varphi _{\alpha }$ המעבירה את $U_{\alpha }$ לקבוצה פתוחה ב־$\mathbb {R} ^{n}$ , אז ניתן לבנות על $M$ מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ הן פונקציות רציפות (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת), כפונקציות מ־$\mathbb {R} ^{n}$ לעצמו. הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות החלקיות ל־$U_{\alpha }$ , עבור $\alpha \in A$ כלשהו.

כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי המכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השנייה.

בעצם, המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ . אם הפונקציות המתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של $\mathbb {R} ^{n}$ ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על $M$ . אם נדרוש מהפונקציות $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ להיות גם גזירות, חלקות או אנליטיות אז הפונקציות $\varphi _{\alpha }$ יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על $M$ , בנוסף למבנה הטופולוגי.

כל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) של היריעה מהווה יריעה בעצמה, שממדה הוא ממד היריעה המקורית. המפות של היריעה החדשה מתקבלות על ידי צמצום המפות המקוריות לאותה קבוצה פתוחה (כשמתייחסים למפות כפונקציות).

יריעות חלקות

יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה דורשים מהפונקציות $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ להיות פונקציות חלקות. האטלס של היריעה החלקה נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים המוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני. (אפשר לראות בקלות שזהו בעצם יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)

היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.

עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה – נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.

דוגמאות ליריעות חלקות

• $\mathbb {R} ^{n}$ הוא יריעה חלקה מממד $n$ , על ידי מפה יחידה שפורשת את כל המרחב, יחד עם העתקת הזהות.
• כל מרחב וקטורי מממד סופי $n$ , הוא יריעה חלקה מממד $n$ על ידי מפה יחידה המכסה את כל המרחב, והקואורדינטות המוגדרות על ידי בסיס כלשהו.
• הספירה ה־$n$־ממדית ${\mathbb {S}}^{n}$ , שהיא שפת כדור היחידה ה־$n+1$־ממדי, היא יריעה חלקה מממד $n$ .

פירוק מעגל לארבע מפות

למשל את ${\mathbb {S}}^{1}$ , הספירה החד־ממדית (המשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור. המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג:

$\left(\left\{\left({\sqrt {1-y^{2}}},y\right):y\in (-1,1)\right\},(x,y)\to y\right)$

כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה – הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר Y.

על ידי זיהוי ${\mathbb {S}}^{1}$ עם מעגל היחידה ב־$\mathbb {C}$ , ניתן לראות כי ל־${\mathbb {S}}^{1}$ יש גם מבנה של חבורה, הנובע מהכפל במרוכבים.

פונקציות חלקות על יריעות

התכונה החשובה ביותר של היריעות החלקות היא היכולת להגדיר עליהן מושגים של גזירות וחלקות בלי תלות במערכת הקואורדינטות המקומית, מה שלא ייתכן ביריעה טופולוגית כללית.

פונקציה $f:M\to \mathbb {R}$ נקראת "פונקציה חלקה בנקודה $p$" אם קיימת מפה $(U,\varphi )$ כך שהפונקציה $f\circ \varphi ^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות החלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי: $f\circ \varphi _{\beta }^{-1}=\left(f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}\right)\circ \left(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\right)$ , כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינווריאנטי ביחס לשינוי קואורדינטות.

לפי אותו רעיון פונקציה $F:M\to N$ היא פונקציה חלקה בין היריעות $M,N$ אם לכל שתי מפות $(U,\varphi ),(W,\psi )$ הפונקציה $\psi \circ F\circ \varphi ^{-1}$ היא חלקה בתחום הגדרתה.

אם נתייחס לקטע הפתוח $(a,b)\subset \mathbb {R}$ כאל יריעה (עם המבנה הטבעי כקבוצה פתוחה במרחב האוקלידי – שהוא יריעה חלקה) אז העקומה $\gamma :(a,b)\to M$ היא "עקומה חלקה" (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה בין היריעות $(a,b),M$ .

אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות השוות ל־1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה המכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים – היא מתאפסת על כל הישר.

המרחב המשיק

המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב לינארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כוקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר). למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.

לכל נקודה $p$ , המרחב המשיק בנקודה שמסומן $T_{p}M$ הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים הפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם לינאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ"):

$v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$

כאשר $f,g$ פונקציות חלקות ו־$v$ וקטור במרחב המשיק.

הווקטורים של המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים.

יריעה אנליטית

בדומה להגדרת היריעה החלקה – יריעה אנליטית היא יריעה טופולוגית שהמפות שלה מתנגשות באופן שמהווה פונקציה אנליטית כלומר לכל זוג מפות הפונקציה $\varphi \circ \psi ^{-1}$ היא פונקציה אנליטית. על יריעות כאלו ניתן להגדיר אלו פונקציות הן פונקציות אנליטיות באופן שאינו תלוי במערכת הקואורדינטות.

השוני העיקרי בין היריעות החלקות והאנליטיות נובע מאי־קיומה של חלוקת יחידה אנליטית באופן כללי, בעוד שחלוקת יחידה חלקה תמיד קיימת.

דוגמאות ליריעות

• פני כדור
• טבעת מביוס
• בקבוק קליין

ראו גם

• גאומטריה דיפרנציאלית
• דיפאומורפיזם
• קואורדינטות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא יריעה בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0