דיפאומורפיזם

בגאומטריה דיפרנציאלית, דיפאומורפיזם הוא אמצעי לזהות שני מבנים דיפרנציאליים כזהים עד כדי שם. זהו איזומורפיזם של מבנים עם שימור אינווריאנטים דיפרנציאליים.

בדומה לאיזומורפיזם ולהומיאומורפיזם הזיהוי נעשה באמצעות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מיריעה חלקה M ליריעה חלקה N. נאמר שפונקציה כזו היא דיפאומורפיזם אם היא חלקה, והפונקציה ההפוכה לה גם כן חלקה. הגדרה זו דומה להגדרת ההומיאומורפיזם ששם פונקציה בין מרחבים טופולוגיים היא הומיאומורפיזם אם היא רציפה, וגם הפונקציה ההפוכה לה רציפה.

בצורה דומה למושגים הקשורים, נאמר ששתי יריעות הן דיפאומורפיות אם קיימת פונקציה שהיא דיפאומורפיזם ביניהן. יחס זה מהווה יחס שקילות על מחלקת כל היריעות הדיפרנציאליות.

למשל, הקטע $(0,1)$ והקרן $(1,\infty )$ דיפאומורפיות על ידי הדיפאומורפיזם $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ .

לעומת זאת הפונקציה $f(x)=x^{3}$ איננה דיפאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו, כיוון שהפונקציה ההפוכה, ${\sqrt[{3}]{x}}$ איננה גזירה בנקודה $x=0$ . לעומת זאת, פונקציה זו היא הומיאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו.

פונקציה $F$ נקראת דיפאומורפיזם מקומי בסביבה של נקודה $p$ , אם קיימת סביבה פתוחה $p\in U$ , עבורה $F$ היא דיפאומורפיזם בין $U$ ו- $F(U)$ . לפי משפט הפונקציה ההפוכה אם $F$ פונקציה חלקה כך שהנגזרת של $F$ בנקודה $p$ הפיכה, אז $F$ היא דיפאומורפיזם מקומי בנקודה $p$ .

כל דיפאומורפיזם הוא גם הומיאומורפיזם (כאשר מסתכלים על היריעות כמרחבים טופולוגיים), כי כל פונקציה חלקה היא בפרט רציפה, אבל לא להפך. קיימות יריעות חלקות שהומיאומורפיות זו לזו אך לא דיפאומורפיות. מאבחנה זו נובע, לדוגמה, שאם שתי יריעות הן דיפאומורפיות אז הן בעלות אותו ממד.