דיפאומורפיזם
בגאומטריה דיפרנציאלית, דיפאומורפיזם הוא אמצעי לזהות שני מבנים דיפרנציאליים כזהים עד כדי שם. זהו איזומורפיזם של מבנים עם שימור אינווריאנטים דיפרנציאליים.
בדומה לאיזומורפיזם ולהומיאומורפיזם הזיהוי נעשה באמצעות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מיריעה חלקה M ליריעה חלקה N. נאמר שפונקציה כזו היא דיפאומורפיזם אם היא חלקה, והפונקציה ההפוכה לה גם כן חלקה. הגדרה זו דומה להגדרת ההומיאומורפיזם ששם פונקציה בין מרחבים טופולוגיים היא הומיאומורפיזם אם היא רציפה, וגם הפונקציה ההפוכה לה רציפה.
בצורה דומה למושגים הקשורים, נאמר ששתי יריעות הן דיפאומורפיות אם קיימת פונקציה שהיא דיפאומורפיזם ביניהן. יחס זה מהווה יחס שקילות על מחלקת כל היריעות הדיפרנציאליות.
למשל, הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,1)} והקרן דיפאומורפיות על ידי הדיפאומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\mapsto\frac1x} .
לעומת זאת הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^3} איננה דיפאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו, כיוון שהפונקציה ההפוכה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{x}} איננה גזירה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} . לעומת זאת, פונקציה זו היא הומיאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו.
פונקציה נקראת דיפאומורפיזם מקומי בסביבה של נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , אם קיימת סביבה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\in U} , עבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} היא דיפאומורפיזם בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(U)} . לפי משפט הפונקציה ההפוכה אם פונקציה חלקה כך שהנגזרת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הפיכה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} היא דיפאומורפיזם מקומי בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} .
כל דיפאומורפיזם הוא גם הומיאומורפיזם (כאשר מסתכלים על היריעות כמרחבים טופולוגיים), כי כל פונקציה חלקה היא בפרט רציפה, אבל לא להפך. קיימות יריעות חלקות שהומיאומורפיות זו לזו אך לא דיפאומורפיות. מאבחנה זו נובע, לדוגמה, שאם שתי יריעות הן דיפאומורפיות אז הן בעלות אותו ממד.
