עקומה

במתמטיקה, עקומה היא קו חד־ממדי ורציף. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.

דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, חתכי חרוט אחרים, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.

הגדרה פורמלית

כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא $I\subseteq \mathbb {R}$ קטע על הישר הממשי. נקרא לפונקציה $\gamma :I\to X$ עקומה אם $X$ הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו־ $\gamma$ היא פונקציה רציפה. בדרך־כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים כי $X=\mathbb {R} ^{n}$ הוא המרחב האוקלידי ה־ $n$ ־ממדי. במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של מרחב וקטורי ומרחב מטרי ואפשר לנתח את העקומה בכלים של אנליזה וקטורית וגאומטריה דיפרנציאלית.

עקומה פשוטה

אם $\gamma$ חד־חד־ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות לאחור", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

עקומה רגולרית

עקומה $\gamma (t)={\bigl (}\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t){\bigr )}\in \mathbb {R} ^{n}$ נקראת "רגולרית" אם הוקטור המשיק לעקומה ${\dot {\gamma }}(t)={\frac {d}{dt}}\gamma (t)$ לא מתאפס באף נקודה. כלומר: $\forall t:|{\dot {\gamma }}(t)|\neq 0$ , או העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".

עקומה סגורה

אם $I=[a,b]$ , כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם $\gamma (a)=\gamma (b)$ אזי נאמר כי העקומה סגורה (שני קצוותיה מחוברים). אם היא חד־חד־ערכית פרט לקצוות, נאמר כי היא פשוטה וסגורה. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור. עקומה שכזו מכונה לעיתים קרובות עקומת ז'ורדן ויש לה שימושים רבים במתמטיקה.

עקומה חלקה למקוטעין

עקומה $\gamma (t)$ נקראת "חלקה למקוטעין" אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).

אורך של עקומה

במרחב מטרי $X$ אורך של עקומה $\gamma :[a,b]\to X$ מוגדר על־ידי

{\text{length}}(\gamma )=\ell (\gamma )=\sup \left\{\sum _{k=1}^{n}d{\bigl (}\gamma (t_{k-1}),\gamma (t_{k}){\bigr )}\right\}

כאשר הסופרמום רץ על כל $n\in \mathbb {N}$ ועל כל $a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b$ חלוקה של הקטע $[a,b]$ . זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קוים ישרים) המקרבות את העקומה.

אם העקומה $\gamma (t)$ גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:

\ell (\gamma )=\int \limits _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|dt

במקרה שהעקומה נתונה כגרף של פונקציה רציפה $y=f(x)$ אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני $d\ell$ , הוא לפי משפט פיתגורס $d\ell ^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ , אם הפונקציה גזירה אזי אפשר לרשום