כיסוי

ערך זה עוסק במושג במתמטיקה. אם התכוונתם לחידוש שיר של אמן אחד על ידי אמן אחר, ראו גרסת כיסוי; אם התכוונתם לאירוע בו גרם שמיים עובר על פני גרם שמיים אחר ומסתיר אותו, ראו הסתרה (אסטרונומיה).

במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.

הגדרה

כיסוי של קבוצה $X$ הוא משפחה של תת-קבוצות ${\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ המקיימת $X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }$ .

משפחה ${\mathcal {C}}'\subset {\mathcal {C}}$ נקראת תת-כיסוי, אם גם ${\mathcal {C}}'$ מהווה כיסוי של $X$ .

אם ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ זוג כיסויים של קבוצה כלשהי, אומרים כי ${\mathcal {C}}$ הוא עידון של ${\mathcal {D}}$ , אם לכל איבר $C\in {\mathcal {C}}$ קיים איבר $D\in {\mathcal {D}}$ המקיים $C\subset D$ .

בטופולוגיה

בהקשר הטופולוגי, יש חשיבות רבה לכיסויים פתוחים, שבכל אחד מהם כל הקבוצות הן קבוצות פתוחות. כלומר כיסוי כזה מכונה כיסוי פתוח.

כיסוי פתוח ${\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ של מרחב טופולוגי $X$ נקרא סופי נקודתית, אם כל נקודה $x\in X$ שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. כמו כן הוא נקרא סופי מקומית, אם לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $x\in U\subset X$ , כך שהקבוצה $\left\{\alpha \in A\mid C_{\alpha }\cap U\neq \emptyset \right\}$ סופית.

מושג הכיסוי משמש להגדרת מושגים יסודיים בטופולוגיה:

מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי סופי.
מרחב טופולוגי נקרא לינדלף, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי בן מניה.
מרחב טופולוגי נקרא מטא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי נקודתית.
מרחב טופולוגי נקרא פרא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי מקומית.

דוגמאות

באופן טריוויאלי, לכל קבוצה $X$ , האוסף המנוון $\left\{X\right\}$ הוא כיסוי של $X$ .

בנוסף, לכל תת-קבוצה $Y\subset X$ , האוסף $\left\{Y,Y^{c}\right\}$ הוא כיסוי של $X$ .

אם $X$ קבוצה סדורה, אז לכל $x,y\in X$ ניתן להגדיר $C_{x,y}=\left\{z\in X\mid x\leq z<y\right\}$ , ואז האוסף $\left\{C_{x,y}\right\}_{x,y\in X}$ מהווה כיסוי.