טופולוגיה דיפרנציאלית

טופולוגיה דיפרנציאלית הוא תחום במתמטיקה העוסק ביריעות חלקות. תחום זה נושק לגאומטריה דיפרנציאלית, אולם בשונה ממנה הוא מתמקד במבנה הגלובלי של היריעות ולא במבנה הלוקלי שלהן. לכן, בעוד שמנקודת מבטה של הגאומטריה הדיפרנציאלית אין עניין ביריעות חלקות ללא מבנה נוסף (מבחינה לוקלית כל היריעות האלילה איזומורפיות ל־$\mathbb {R} ^{n}$ , עבור $n$ כלשהו), בטופולוגיה דיפרנציאלית זה עיקר העניין, ומבנים נוספים הם בדרך כלל רק אמצעי.

הרבה מהתוצאות של טופולוגיה דיפרנציאלית מספקות כלים אנליטיים לחקר של אינווריאנטים מטופולוגיה אלגברית.

החלוקה לתחומים של טופולוגיה דיפרנציאלית מקבילה לזאת של גאומטריה דיפרנציאלית.

דוגמאות אופייניות למשפטים ומושגים מטופולוגיה דיפרנציאלית

• קומפלקס דה-רהם – קומפלקס שרשרת המבוסס על תבניות דיפרנציאליות המחשב את הקו-ההומולוגיות (עם מקדמים ב־$\mathbb {R}$ או $\mathbb {C}$) של היריעה.
• תורת מורס – תורה המאפשרת לחשב את ההומולוגיות של היריעה בהתבסס על פונקציית מורס.
• משפט גאוס-בונה – נוסחה המקשרת בין עקמומיותו של משטח למאפיין אוילר שלו
• עקרון הטרנסוורסליות – עיקרון, המבוסס על הלמה של סארד, הדן בהתנהגותם של יריעות חלקות במצב כללי. עיקרון זה המאפשר להגדיר מושגים מטופולוגיה אלגברית (כמו מעלה של העתקה ואינדקס חיתוך) באמצעים של טופולוגיה דיפרנציאלית.

ראו גם

• גאומטריה דיפרנציאלית
• יריעה חלקה

לקריאה נוספת

• V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, 1974
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds HarperCollins, 1965
• Ethan Bloch, A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, 1996
• Morris Hirsch, Differential Topology, Springer-Verlag, 1997

הערות שוליים

• טופולוגיה דיפרנציאלית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• טופולוגיה דיפרנציאלית, באתר MathWorld (באנגלית)