פנים (טופולוגיה)

הנקודה $p$ נמצאת בפנים של הקבוצה $V$ שכן הקבוצה $V$ מכילה סביבה של $p$

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.

נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $A$ בסימונים ${\text{Int}}(A),A^{\circ }$ .

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה ${\text{Int}}(A)$ , בתור קבוצת כל הנקודות $x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $B$ עבורה $x\in B\subseteq A$ – כלומר, הקבוצה $A$ היא סביבה של $x$ .

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב-$A$ . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$A$ .

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: ${\text{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}$ .

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $[0,1]$ בישר הממשי.

${\begin{aligned}[0,1]^{c}&=(\infty ,0)\cup (1,\infty )\\{\overline {[0,1]^{c}}}&=(\infty ,0]\cup [(1,\infty )\\{\big (}{\overline {[0,1]^{c}}}{\big )}^{c}&=(0,1)\end{aligned}}$

ולכן הפנים של $[0,1]$ הוא הקטע הפתוח $(0,1)$ .

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $A={\text{Int}}(A)$ . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן ${\text{Int}}(A)={\text{Int}}{\big (}{\text{Int}}(A){\big )}$ .
• $A\subseteq B\ \Rightarrow \ {\text{Int}}(A)\subseteq {\text{Int}}(B)$
• ${\text{Int}}(A)\cup {\text{Int}}(B)\subseteq {\text{Int}}(A\cup B)$
• ${\text{Int}}(A\cap B)={\text{Int}}(A)\cap {\text{Int}}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$ , המסומן ${\text{Ext}}(A)$ , מוגדר כפנים של המשלים שלה: ${\text{Ext}}(A)={\text{Int}}(A^{c})$ . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: ${\text{Ext}}(A)=({\bar {A}})^{c}$ .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם

• נקודת מרכז