מומנט (הסתברות)

מומנט של משתנה מקרי הוא התוחלת של חזקה שלמה כלשהי של המשתנה המקרי. המומנטים השונים של משתנה מקרי מהווים אינדיקציה לתכונות שונות של התפלגות המשתנה, ובמקרים רבים די בחישוב של מספר מומנטים כדי לקבל מידע על המשתנה האקראי, ללא חישוב מפורש של פונקציית ההתפלגות $\mathbb {P} \{X<x\}$.

הגדרה ותכונות כלליות

המומנט ה-k של משתנה מקרי $X$ הוא $m_{k}(X)=E(X^{k})\!$ (בתנאי שהאינטגרל מתכנס בהחלט).

בדומה לזה, המומנט המרכזי ה-k הוא המומנט ה-k של המשתנה המקרי ${\tilde {X}}=X-E[X]$, אשר מתקבל על ידי הסטת המשתנה המקורי, $X$, בתוחלתו כך שלמשתנה החדש תוחלת 0. את המומנט המרכזי מסמנים $\mu _{k}(X)=E\left[(X-E[X])^{k}\right]\!$. לפי ההגדרה, המומנט מסדר אפס הוא 1: $m_{0}(X)=\mu _{0}(X)=1\!$.

המומנטים של משתנה מקרי רציף ${\tilde {X}}$ הם $\mu _{k}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{\tilde {X}}(x)dx$, כאשר f היא פונקציית הצפיפות. עבור משתנה מקרי בדיד מתקבל ביטוי דומה עם פונקציית ההסתברות במקום הצפיפות.

אפשר לנרמל את המומנטים לפי סטיית התקן, ולקבל מומנט מתוקן ${\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}$. לכל משתנה מקרי, המומנט המתוקן הראשון הוא 0, והשני 1.

למומנט המרכזי התכונות הבאות:

• הזזה בקבוע איננה משנה את המומנט: $\mu _{k}(X+b)=\mu _{k}(X)\!$.
• המומנט המרכזי הוא פונקציה הומוגנית: $\mu _{k}(aX)=a^{k}\mu _{k}(X)\!$.
• המומנטים המרכזיים מסדר אי-זוגי הם 0 עבור משתנה מקרי סימטרי, משום שאם $f_{\tilde {X}}(x)$ פונקציה זוגית ו-$k$ אי-זוגי, אז $x^{k}f_{\tilde {X}}(x)$ אי-זוגית והאינטגרל שלה הוא 0 (בתנאי שהאינטגרל מתכנס). לדוגמה, ההתפלגות נורמלית סימטרית, ולכן כל המומנטים מסדר אי-זוגי שלה הם 0.

מומנטים מסדרים שונים

למומנטים מסדרים נמוכים ישנה משמעות אינטואיטיבית לגבי טיב הפילוג הנתון:

• המומנט מסדר ראשון הוא התוחלת : $m_{1}(X)=E(X)\!$. המומנט הממורכז מסדר ראשון הוא תמיד אפס: $\mu _{1}(X)=E[X-E[X]]=0\!$.
• המומנט המרכזי מסדר שני הוא השונות: $\mu _{2}(X)=Var(X)\!$. מומנט זה מהווה מדד לפיזור (או לאי הוודאות) של המשתנה, כלומר: באיזו מידה הערכים הסבירים רחוקים מהתוחלת. דגימות של משתנה בעל מומנט מרכזי מסדר שני קרוב ל-0 יניבו ערכים הקרובים לתוחלת.
• המומנט המרכזי מסדר שלישי חלקי סטיית תקן בשלישית הוא הצידוד: $\ \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}$. הצידוד מהווה מדד לחוסר סימטריות בפונקציית הצפיפות, כלומר: באיזו מידה הערכים מצידה האחד של התוחלת סבירים יותר מערכים בצידה האחר.
• המומנט המרכזי מסדר רביעי חלקי סטיית התקן ברבעית פחות 3 הוא הגבנוניות: $\ \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$. גורם החיסור ב-3 איננו הכרחי מבחינת אפיון הפילוג, והוא מתווסף לצורך נרמול, כך שגבנוניות הפילוג הגאוסי לפי הגדרה זו תהיה 0.

מומנטים של סכום משתנים מקריים

יהיו $X,Y$ שני משתנים מקריים ונניח כי קיימים להם מומנטים מכל סדר. אזי:

• $\mu _{1}(X+Y)=\mu _{1}(X)+\mu _{1}(Y)\!$ . נשים לב כי פרט זה נובע מלינאריות התוחלת, והוא תקף גם למשתנים תלויים.

אם בנוסף ידוע כי $X,Y$ הם גם חסרי קורלציה אזי:

• $\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)$

ואם ידוע כי $X,Y$ הם גם בלתי תלויים סטטיסטית, אזי:

$\mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\!$.

קשר בין המומנטים לבין ההתפלגות

התמרת פוריה קושרת בין התפלגות של משתנה לבין הפונקציה האפיינית שלו, המוגדרת כך: $\ \phi _{X}(t)=E[e^{jtX}]$ (כאשר $j={\sqrt {-1}}$). אי לכך, ניתן להראות כי שני משתנים מקריים הם שווי פילוג אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אפיינית, ומכאן שהפונקציה האפיינית מגדירה את פילוג המשתנה.

מתוך הפונקציה האפיינית ניתן להגדיר את הפונקציה היוצרת מומנטים של משתנה מקרי: $\ M_{X}(t)=\phi _{X}(-jt)=E[e^{-j^{2}tX}]=E[e^{tX}]$ כעת, לפי פיתוח טיילור של הפונקציה $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$, נקבל כי הפונקציה היוצרת מומנטים ניתנת לביטוי כך:

$\ M_{X}(t)=E\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(tX)^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}E[X^{k}]t^{k}$.

מסקנה: אם ידועה פונקציית הצפיפות של המשתנה המקרי, ניתן לקבל מומנט כלשהו מסדר $k$ על ידי כתיבת הפונקציה היוצרת מומנטים, גזירתהּ $k$ פעמים והצבת 0:

$\ \left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right|_{t=0}={\frac {1}{k!}}k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 1\cdot E[X^{k}]=E[X^{k}]$.

מאידך, תחת תנאים מתאימים, אם ידועים לנו כל המומנטים של המשתנה המקרי, ניתן להשתמש בנוסחה הנ"ל לקבלת פונקציית הצפיפות.

הערה: קיומה של הפונקציה היוצרת מומנטים אינו מובטח (על אנטגרל התוחלת להתכנס), ונדרשים תנאים להחלפת סדר סכימה ואנטגרציה כדי לקבל את המסקנה לעיל.

ראו גם

• פונקציה יוצרת מומנטים