הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי המתפלג התפלגות אחידה רציפה U (–1,1). הפונקציה ממשית מכיוון שצפיפות ההתפלגות של המשתנה המקרי סימטרית סביב אפס. בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה , פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות . הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים.
הגדרה הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי
X
{\displaystyle X}
פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של
e
i
t
X
{\displaystyle e^{itX}}
i
{\displaystyle i}
t
{\displaystyle t}
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
∫
−
∞
∞
e
i
t
X
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itX}f_{X}(x)\,dx}
בחישוב התוחלת כאינטגרל , הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות[1]
לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):[2]
φ
X
(
−
i
t
)
=
M
X
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)}
בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.
תכונות הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת מכיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב.
פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבת הנקודה אפס, שכן מההגדרה
φ
(
0
)
=
1
{\displaystyle \varphi (0)=1}
פונקציה אופיינית היא הרמיטית :
φ
(
t
)
=
φ
(
−
t
)
{\displaystyle \varphi (t)=\varphi (-t)}
זוגית .
קיים יחס חד-חד ערכי בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
φ
X
1
=
φ
X
2
{\displaystyle \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}}
אם המומנטים של משתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
k
{\displaystyle k}
E
[
X
k
]
=
i
−
k
φ
X
(
k
)
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)}
אם הנגזרת ה־
k
{\displaystyle k}
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
k
{\displaystyle k}
[2]
φ
X
(
k
)
(
0
)
=
i
k
E
[
X
k
]
{\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}
הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:
φ
X
+
Y
(
t
)
=
E
(
e
i
t
(
X
+
Y
)
)
=
E
(
e
i
t
X
e
i
t
Y
)
=
E
(
e
i
t
X
)
E
(
e
i
t
Y
)
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
יהי
Y
=
a
X
+
b
{\displaystyle Y=aX+b}
X
{\displaystyle X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Y
{\displaystyle Y}
φ
Y
(
t
)
=
e
i
t
b
φ
X
(
a
t
)
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)}
עבור וקטורים מקריים
X
{\displaystyle X}
Y
=
A
X
+
B
{\displaystyle Y=AX+B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
φ
Y
(
t
)
=
e
i
t
⊤
B
φ
X
(
A
⊤
t
)
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{it^{\top }B}\varphi _{X}(A^{\top }t)}
[3] דוגמאות
התפלגות
הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת
δ
a
{\displaystyle \delta _{a}}
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}}
התפלגות בינומית
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}
התפלגות פואסון
Pois
(
λ
)
{\displaystyle {\text{Pois}}(\lambda )}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}
התפלגות אחידה רציפה
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle U(a,b)}
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
התפלגות אחידה בדידה
D
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle DU(a,b)}
e
i
t
a
−
e
i
t
(
b
+
1
)
(
1
−
e
i
t
)
(
b
−
a
+
1
)
{\displaystyle {\frac {e^{ita}-e^{it(b+1)}}{(1-e^{it})(b-a+1)}}}
התפלגות נורמלית
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
התפלגות כי בריבוע
X
k
2
{\displaystyle X_{k}^{2}}
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}
התפלגות קושי
C
(
μ
,
θ
)
{\displaystyle C(\mu ,\theta )}
e
i
x
0
t
−
γ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{ix_{0}t-\gamma |t|}}
התפלגות מעריכית
Exp
(
λ
)
{\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}
התפלגות לפלס
L
(
μ
,
b
)
{\displaystyle L(\mu ,b)}
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
התפלגות ברנולי
Bern
(
p
)
{\displaystyle {\text{Bern}}(p)}
1
−
p
+
p
e
i
t
{\displaystyle 1-p+pe^{it}}
שימושים מניפולציות בסיסיות של התפלגויות פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים. לדוגמה, אם
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
,
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!}
כאשר
a
i
{\displaystyle a_{i}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
φ
S
n
(
t
)
=
φ
X
1
(
a
1
t
)
φ
X
2
(
a
2
t
)
⋯
φ
X
n
(
a
n
t
)
{\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)\,\!}
בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
φ
X
+
Y
(
t
)
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
φ
X
+
Y
(
t
)
=
E
[
e
i
t
(
X
+
Y
)
]
=
E
[
e
i
t
X
e
i
t
Y
]
=
E
[
e
i
t
X
]
E
[
e
i
t
Y
]
=
φ
X
(
t
)
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
אי התלות של
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות וכאשר
a
i
=
1
/
n
{\displaystyle a_{i}=1/n}
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
n
{\displaystyle n}
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
φ
X
¯
(
t
)
=
φ
X
(
t
n
)
n
{\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\varphi _{X}\!\left({\tfrac {t}{n}}\right)^{n}}
מומנטים ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי. בהנחה שהמומנט ה-n קיים
E
[
X
n
]
=
i
−
n
[
d
n
d
t
n
φ
X
(
t
)
]
t
=
0
=
i
−
n
φ
X
(
n
)
(
0
)
,
{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
^ Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon, Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering, and Array Processing 978-1-58053-610-3 (באנגלית)
^ 2.0 2.1 Lukacs, E, Characteristic functions , London: Griffin, 1970
^ "Joint characteristic function" . www.statlect.com . נבדק ב-7 באפריל 2018 .
39995334 פונקציה אופיינית (הסתברות)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itX}f_{X}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adc62953c9189c3be7a283d076736fff7d03afe)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da105b6b17f8f03fcb6ffe2bbdd6eed2fcb0d112)
![{\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278511590ecd7122a91abb28362f99a9783231c7)
![{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2f8a4335407b6acbee44bfd54d8c5c2e59b1d5)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b7e821b95332b9aa377186801428897738295f)
