פונקציה מדידה

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה. בניסוח פורמלי, אם $ \ (X,{\mathcal {M}}_{X}),(Y,{\mathcal {M}}_{Y}) $ הם מרחבים מדידים, אז $ \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y}) $ היא פונקציה מדידה אם $ \ \forall V\in {\mathcal {M}}_{y}\ :\ f^{-1}(V)\in {\mathcal {M}}_{x} $.

אם נתון מרחב טופולוגי $ \ X $, ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה $ \ \sigma $-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות.

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

מקרים מיוחדים

• פונקציה מדידה $ \ f:(X,{\mathcal {B}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {B}}_{Y}) $ נקראת מדידת בורל כאשר $ \ {\mathcal {B}}_{X},{\mathcal {B}}_{Y} $ הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
• פונקציה מדידה $ \ f:(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {L}}_{n})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $ נקראת מדידת לבג אם $ {\mathcal {B}} $ אלגברת בורל ו $ {\mathcal {L}}_{n} $ היא סיגמה אלגברה של לבג.
• תהא f פונקציה $ \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $, אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים

1. לכל $ t\in \mathbb {R} $ הקבוצה $ \{x\in X\mid f(x)>t\} $ מדידה
2. לכל $ t\in \mathbb {R} $ הקבוצה $ \{x\in X\mid f(x)\geq t\} $ מדידה
3. לכל $ t\in \mathbb {R} $ הקבוצה $ \{x\in X\mid f(x)<t\} $ מדידה
4. לכל $ t\in \mathbb {R} $ הקבוצה $ \{x\in X\mid f(x)\leq t\} $ מדידה
5. לכל $ U\in {\mathcal {B}} $ הקבוצה $ \ f^{-1}(U) $ מדידה

תכונות

• אם הפונקציות $ \ g:(Y,{\mathcal {M}}_{Y})\rightarrow (Z,{\mathcal {M}}_{Y}) $, $ \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y}) $ מדידות, אז ההרכבה שלהן $ g\circ f $ היא פונקציה מדידה.
• אם $ \ f,g:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $ מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם $ \forall x\in X,g(x)\neq 0 $ אז גם הפונקציה $ {\frac {f}{g}} $ מדידה.
• אם $ \ f_{n}:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $ מדידות אז גם $ \sup _{n}f_{n},\;\inf _{n}f_{n},\;\limsup _{n}f_{n},\;\liminf _{n}f_{n} $ מדידות. אם קיים הגבול, אז גם $ \lim _{n}f_{n} $ מדידה.
• אם $ \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y}) $ ו-$ C $ קבוצת תת-קבוצות של $ Y $ עבורה $ \sigma (C)={\mathcal {M}}_{Y} $, אז $ f $ מדידה אם ורק אם $ \forall A\in C:{f}^{-1}(A)\in {\mathcal {M}}_{X} $. במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה.

קירוב של פונקציה מדידה

פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים. יהא $ \ X $ מרחב ו $ \{A_{k}\}_{1}^{n} $ קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה $ {\displaystyle \ s(x)=\sum _{1}^{n}\alpha _{k}\chi _{A_{k}}(x)} $ כאשר $ \chi _{A_{k}} $ היא הפונקציה מציינת. אם $ \ (X,{\mathcal {M}}_{X}) $ מרחב מדיד ו $ \ A_{k} $ קבוצות מדידות, אז $ \ s(x) $ נקראת פונקציה מדידה פשוטה.

משפט: לכל פונקציה מדידה $ \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $, קיימת סדרה $ \ s_{n}\ :(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}) $ של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש $ \ \lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=f $ נקודתית. אם $ \ f\geq 0 $ ניתן לבחור את הסדרה כך ש $ 0\leq s_{n}\leq s_{n+1} $ ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש $ 0\leq |s_{n}|\leq |s_{n+1}| $

ראו גם

• תורת המידה
• סיגמא-אלגברה
• מידה (מתמטיקה)
• השווה גם הגדרה של פונקציה רציפה במרחב טופולוגי.

קישורים חיצוניים

• פונקציה מדידה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה מדידה28589262