פונקציית דלתא של דיראק

בתיאור גרפי של פונקציית דלתא, גובה אינסופי מסומן באמצעות חץ.

פונקציית הדלתא של דיראק, המסומנת $\ \delta (x)$, היא פונקציה מוכללת המקבלת, כביכול, את הערך אינסוף בנקודה x=0 ואת הערך אפס בכל שאר הנקודות, באופן כזה שהאינטגרל שלה על פני הישר הממשי שווה ל-1.

הפונקציה, שהיא הכללה של הדלתא של קרונקר, הומצאה על ידי הפיזיקאי פול דיראק והיא נמצאת בשימוש בעיקר בפיזיקה ובהנדסה. בעיבוד אותות היא מכונה פונקציית הלם. למרות שמה, מבחינה פורמלית היא איננה פונקציה ממשית. ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כגבול חלש של סדרה של פונקציות בעלות שיא בראשית הצירים.

מבוא פורמלי

ההגדרה השימושית

לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$

לכל פונקציה רציפה f. כאמור, אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת הערך אינסוף בנקודת האפס, כך שהאינטגרל על פני הישר הממשי על הפונקציה הוא 1. פונקציה ממשית כזו לא יכולה להתקיים, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין את תכונות הפונקציה.

פונקציית דלתא של דיראק כהתפלגות של פונקציות גאוסיאניות $\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$ כאשר $a\to 0.$

באופן כללי יותר אפשר לרשום:

$\forall f\in C[-\infty ,\infty ]\ :\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0})$

ניתן לראות את פונקציית דלתא כפונקציית צפיפות של התפלגות מצטברת, שמקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:

$H(x)=\left\{{\begin{matrix}0&:&x<0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.$

להתפלגות מצטברת כזו קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה) ובאופן אינטואיטיבי אפשר לומר שפונקציית דלתא היא ה"נגזרת" שלה (כולל בנקודת האי-רציפות),

$\ dH(x)=\delta (x)\ dx$

שכן עבור ערכים שונים מ-0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר "שיפוע" אינסופי בנקודה. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא, ובהתאם אחת הדרכים לממש אותה תהיה שימוש מתאים בגבול של הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

בפועל, אין פונקציה אמיתית שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר לקבל אובייקטים דומים וריגורוזיים באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או אינטגרל לבג עבור מידה מתאימה.

מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:

$\ \forall \ \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \ :\ \delta [\phi ]=\phi (0)\,$

זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות. פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרמום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב הילברט $\ L_{2}$. יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריס אפשר לרשום כל פונקציונל לינארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב $\ L_{2}$ כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.

אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל מידה באופן הבא:

• $\ \delta (A)=1$ אם $0\in A$.
• $\ \delta (A)=0$ אחרת.

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:

$\forall f\in C[-\infty ,\infty ]\ :\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\delta (\{x\})=f(0)$

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:

$\forall f\in C[-\infty ,\infty ]\ :\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x)=f(0)$

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.

המחשה של ההתכנסות

את פונקציית דלתא אפשר לממש גם כגבול של סדרת פונקציות, המתכנסות אל פונקציית דלתא. באופן אינטואיטיבי, מדובר בסדרה של פונקציות ששואפות לצורת השפיץ: כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.

באופן פורמלי, סדרת פונקציות $\ \left\{\delta _{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty }$ תקרא "סדרת דלתא" אם:

1. $\ \forall n\in \mathbb {N} \ :\ \int _{-\infty }^{\infty }{\delta _{n}(x)dx}=1$, דרישה זאת קובעת שלכל הפונקציות בסדרה יש משקל (שטח מתחת לעקומה) של 1.
2. לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ N_{0}$ מספיק גדול כך ש $\ \forall n>N_{0}\ :\ \forall |x|\geq \varepsilon \ :\ \delta _{n}(x)=0$.

לדוגמה נסתכל בסדרה הבאה:

:$\delta _{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&:&|x|>{\frac {1}{2n}}\\n&:&|x|<{\frac {1}{2n}}\end{matrix}}\right.$

למעשה, זוהי סדרה של מלבנים או פונקציות מציינות על הקטע $\ \left[-1/(2n),+1/(2n)\right]$ מורמות לגובה n. נראה שזוהי סדרת דלתא:

1. שטח: כל מלבן הוא ברוחב $\ 1/n$ ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1 לכל n.
2. קל גם לראות שסדרה זו מקיימת גם את הדרישה השנייה.

לכן זוהי סדרת דלתא של פונקציות ממשיות שמתכנסת במובן החלש לפונקציית דלתא של דיראק (על אף שזו אינה פונקציה ממשית בעצמה). בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

רשימת תכונות

• $\delta (t)={\begin{cases}+\infty ,&t=0\\0,&t\neq 0\end{cases}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\,dt=1$
• $\int _{-\infty }^{t}\delta (\tau )\operatorname {d} \!\tau =H(t)$
• $\ dH(t)=\delta (t)\ dt$
• $\ \delta (t)=\delta (-t)$
• $\ \delta (at)={\frac {1}{|a|}}\delta (t)$
• $x(t)\delta (t\pm t_{0})=x(\pm t_{0})\delta (t\mp t_{0})$
• $\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t\mp t_{0})\,dt=x(\pm t_{0})$
• $\int _{a}^{b}x(t)\delta (t\mp t_{0})\,dt={\begin{cases}x(\pm t_{0})&,t_{0}\in [a,b]\\0&,t_{0}\notin [a,b]\end{cases}}$
• $x(t)*\delta (t\mp t_{0})=x(t\mp t_{0})$

הוכחת חלק מתכונות

מעצם הגדרתה מקיימת פונקציית דלתא של דיראק את תכונת הנרמול: $\int _{-\infty }^{\infty }{\delta (x)dx}=1$.

כמו כן היא פונקציה זוגית: $\ \delta (x)=\delta (-x)$.

באמצעות החלפת משתנים באינטגרציה ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- $\ \delta (ax)={\frac {1}{|a|}}\delta (x)$.

הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם $-a$ כארגומנט הפונקציה). כעת,

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (ax)dx={\frac {1}{|a|}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y/|a|)\delta (y)dy={\frac {1}{|a|}}f(0)$ כאשר ביצענו את החלפת המשתנים $y=ax$. ‏ $\ \blacksquare$

באופן כללי יותר מתקיים ש-

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

כאשר x_i הם השורשים של g, כלומר: $\ g(x_{i})=0$.

הוכחה: מאחר שבכל קטע I בו $g(x)\neq 0$ האינטגרל $\int _{I}f(x)\delta (g(x))dx=0$ אפשר להפריד את האינטגרל לסכום של אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (g(x))dx=\sum _{i}\int _{x_{i}-\varepsilon }^{x_{i}+\varepsilon }f(x)\delta (g(x))dx$

מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע לקרב את g על ידי קירוב לינארי: $g(x)=g'(x_{i})(x-x_{i})$. נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה $\ \delta (ax)={\frac {1}{|a|}}\delta (x)$, נקבל

$\sum _{i}\int _{x_{i}-\varepsilon }^{x_{i}+\varepsilon }f(x)\delta (g(x))dx=\sum _{i}\int _{x_{i}-\varepsilon }^{x_{i}+\varepsilon }f(x)\delta {\Big (}g'(x_{i})(x-x_{i}){\Big )}dx=\sum _{i}{\frac {1}{|g'(x_{i})|}}\int _{x_{i}-\varepsilon }^{x_{i}+\varepsilon }f(x)\delta (x-x_{i})dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

כנדרש. $\ \blacksquare$

עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש : $\delta '[\phi ]=-\phi '(0)\,$.

• מכאן נובע: $\delta '(x)=-{\frac {\delta (x)}{x}}$.
• כמו כן: $\delta ^{(n)}[\phi ]=(-1)^{n}\phi ^{(n)}(0)\,$.

התמרת פורייה של הפונקציה היא 1, ובהתמרה ההפוכה:

$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}\,dk$

שימושים

• בפיזיקה, פונקציית דלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של מטען חשמלי נקודתי או מסה נקודתית.
• בהנדסת חשמל, עיבוד אותות ואנליזת פורייה, פונקציית דלתא (הנקראת פונקציית הלם) משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה, ומערכות לינאריות מאופיינות על ידי התגובה שלהן להלם.
• בהסתברות, פונקציית דלתא היא פונקציית צפיפות המתארת התפלגות מנוונת.
• במכניקת הקוונטים משתמשים לעיתים בפונקציות דלתא כבסיס למרחב המקום או התנע. הפונקציה הדואלית לפונקציית דלתא מוזזת היא גל מישורי: $\ e^{ipx/\hbar }$.

ראו גם

• פונקציית מדרגה
• הדלתא של קרונקר
• תורת שטורם-ליוביל
• מסרק דיראק

קישורים חיצוניים

• פונקציית דלתא באתר wolfram
• פונקציית דלתא מרחבית בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"