גבול (טופולוגיה)

בטופולוגיה גבול של סדרה הוא נקודה במרחב שהסדרה מתכנסת אליה, במובן שיוסבר בהמשך. מושג זה מכליל את מושג הגבול של סדרה מן החשבון האינפיניטסימלי. בעוד שההגדרות הקשורות בגבולות של סדרות ממשיות טובות כמעט ללא שינוי לסדרות בכל מרחב מטרי, הרי שבמרחב טופולוגי כללי יש צורך להחליף אותן בהגדרות כלליות יותר. יתרה מזו, ההכללה למרחבים שאינם מטריים מחייבת טיפול בגבולות של מערכות מורכבות, כמו רשתות או מסננים.

הגדרה

יהי X מרחב טופולוגי. נקודה $x\in X$ היא גבול של הסדרה ${x_{n}}$ אם בכל סביבה של x נמצאים כמעט כל אברי הסדרה. במרחב מטרי, אפשר לנסח את ההתכנסות במונחי המטריקה: הסדרה ${x_{n}}$ מתכנסת ל- $x$ אם לכל $\ \varepsilon >0$ קיים אינדקס טבעי N כך שלכל k > N מתקיים $d({x_{k}},x)<\varepsilon$ .

אחת הדרכים לאפיין מרחבי האוסדורף היא שגבול של סדרה במרחב כזה, כאשר הוא קיים, הוא יחיד.

רשת היא מערכת של נקודות $\ x_{\delta }$ במרחב, כאשר קבוצת האינדקסים היא קבוצה סדורה המקיימת את התנאי הבא: לכל $\ \delta ,\delta '$ קיים $\ \delta ,\delta '<\delta ''$ . נקודה y היא גבול של הרשת אם לכל סביבה $\ y\in U$ , אברי הרשת שייכים אליה לבסוף (כלומר קיים $\ \delta _{0}$ כך שאם $\ \delta >\delta _{0}$ אז $\ x_{\delta }\in U$ ). בניגוד לגבולות של סדרות, הכרת כל הגבולות של רשתות מאפשרת לשחזר את הטופולוגיה במלואה (כלומר, שתי טופולוגיות על X שעבורן לכל רשת יש אותן נקודות גבול, מוכרחות להיות שוות זו לזו).

דוגמאות

במרחב טריוויאלי $\{X,\phi \}$ , כל סדרה שהיא מתכנסת לכל נקודה שהיא. אכן, לכל סדרה, עבור נקודה מסוימת הסביבה היחידה שלה היא X עצמה, וX אכן מכילה (כמעט) את כל איברי הסדרה. זו דוגמה לכך שלא כל מרחב טופולוגי הוא מרחב האוסדורף, שכן סדרות לא מתכנסות לגבול יחיד.

בכל מרחב טופולוגי, כל סדרה קבועה תתכנס לקבוע. אם x קבוע במרחב, אז לכל סביבה של x, (כמעט) כל איברי הסדרה נמצאים בה, הרי הם x עצמו.

במרחב דיסקרטי, כלומר ב- $(X,p(X))$ , סדרה תתכנס ל-x אם ורק אם היא קבועה החל ממקום מסוים, שכן כמעט כל איבריה צריכים להיות מוכלים בקבוצה הפתוחה $\{x\}$ .

במרחב מטריזבילי, סדרה תתכנס אם ורק אם היא תתכנס לפי המטריקה במרחב המטרי המתאים.

במרחב סירפינסקי, שנתון מעל הקבוצה $X=\{a,b\}$ , עם הטופולוגיה $\{\{a,b\},\phi ,\{a\}\}$ , כל סדרה תתכנס ל-b (שכן סביבתו היחידה היא X כולה), וסדרה תתכנס ל-a אם ורק אם כל איבריה הם a החל ממקום מסוים (שכן כמעט כל איבריה צריכים להיות מוכלים בסביבה $\{a\}$ של a).

אם מרחב אחד מוכל במרחב אחר, אזי התכנסות סדרה במרחב הגדול, תגרור התכנסותה במרחב הקטן ולאותו הגבול. ההפך לא בהכרח נכון (למשל - בישר של סורגנפריי, הסדרה ${\{-{\frac {1}{n}}\}}_{n\in N}$ לא מתכנסת, אך היא מתכנסת בממשיים).