פונקציית מדרגה

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $\ [0,\infty )$ :

\theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\infty )}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x<0\\1&&x\geq 0\end{matrix}}\right.

(הערך ב-

\,x=0

מוגדר לעיתים אחרת, למשל

H(0)={\frac {1}{2}}

).

תכונות הפונקציה:

הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל- $x=0$ .
הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל- $x=0$ .
הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
באופן לא פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של $\ H$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך $0$ , פרט לנקודה $\ x=0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש- $H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,\mathrm {d} s$ פרט אולי ל- $x=0$ .
הפונקציה הקדומה של $H$ היא $\mathrm {Ramp} (x)=\int _{-\infty }^{x}H(t)\,\mathrm {d} t=x\cdot H(x)$ , שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.