פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר $ \ x=0 $ (כלומר לציר ה-$ Y $).

פונקציה זוגית

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר $ \ f(x)=f(-x) $.

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-$ Y $.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

• 
  $ \ f(x)=a $
  פונקציה קבועה
• 
  $ \ f(x)=x^{2} $
  פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
• 
  $ \ f(x)=\cos(x) $
  קוסינוס
• 
  $ \ f(x)=|x| $
  ערך מוחלט

פונקציה אי-זוגית

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר $ \ f(-x)=-f(x) $.

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-$ X $ (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של $ 180^{0} $ סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

• 
  $ \ f(x)=x $
  פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
• 
  $ \ f(x)=x^{3} $
  חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
• 
  $ \ f(x)=\sin(x) $
  סינוס
• שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
  $ \ f(x)=1/x $
  מספר הופכי

פונקציה כללית

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: $ \ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x) $

וזאת כאשר: $ f_{\text{even}}(x)={f(x)+f(-x) \over 2} $ ו $ f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f(-x) \over 2} $

יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f^*(-x) \over 2} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f^*(-x) \over 2}
או:
$ f_{\text{even}}(x)=f_{\text{even}}^{*}(-x) $ ו-$ f_{\text{odd}}(x)=-f_{\text{odd}}^{*}(-x) $

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות

• סכום פונקציות:
  • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): L^1 לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
  • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-$ L^{1} $ לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
• מכפלת פונקציות:
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
• חלוקת פונקציות:
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה $ x^{-1} $ היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

• הרכבת פונקציות:
  • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
  • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
  • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
• גזירת פונקציה:
  • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
  • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.

הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה $ x_{0} $, היא הגבול $ \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0}) $.

ניתן להגדיר את $ \Delta x $ כ-$ x-{x_{0}} $ ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \Delta y כ-$ f(x)-f(x_{0}) $

כעת נציב בגבול: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} . נראה שאם נחליף את הסימן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): x ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): x_0 נקבל לפונקציה זוגית, $ \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{(-x)-(-x_{0})}} $ כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \lim_{x\to x_0}\frac{(-f(x))-(-f(x_0))}{(-x)-(-x_0)} כלומר שסימן הגבול נשמר.

• אינטגרל של פונקציה:
  • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
• תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): x=0 חייבת לקיים $ \ f(0)=0 $.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות28697272Q126592