הדלתא של קרונקר
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
הדלתא של קרונקר היא סימון שימושי ביותר באלגברה ליניארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.
הדלתא של קרונקר מוגדרת על ידי
- $ \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}i=j\\0&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right. $
כלומר, זו פונקציה של שני משתנים (בדרך כלל שלמים) המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה. הדלתא של קרונקר קרויה על שמו של המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19, לאופולד קרונקר.
משמעות
- אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
- אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום ש $ \ Id=I=\delta _{i,j} $.
- כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה $ \delta _{i}^{j} $ כאשר אחד האינדקסים הוא קו-וריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.
תכונות
- סימטריה ביחס לאינדקסים: $ \ \delta _{i,j}=\delta _{j,i} $
- מבצע שינוי אינדקסים: $ \ \sum _{i}{\delta _{i,j}A_{i}}=A_{j} $
- זהות העקבה: $ \ \sum _{i=1}^{n}{\delta _{i,i}}=n $
ראו גם
קישורים חיצוניים
- הדלתא של קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)
הדלתא של קרונקר28792160