הדלתא של קרונקר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הדלתא של קרונקר היא סימון שימושי ביותר באלגברה ליניארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.

הדלתא של קרונקר מוגדרת על ידי

$ \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}i=j\\0&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right. $

כלומר, זו פונקציה של שני משתנים (בדרך כלל שלמים) המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה. הדלתא של קרונקר קרויה על שמו של המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19, לאופולד קרונקר.

משמעות

  • אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
  • אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום ש $ \ Id=I=\delta _{i,j} $.
  • כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה $ \delta _{i}^{j} $ כאשר אחד האינדקסים הוא קו-וריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.

תכונות

  • סימטריה ביחס לאינדקסים: $ \ \delta _{i,j}=\delta _{j,i} $
  • מבצע שינוי אינדקסים: $ \ \sum _{i}{\delta _{i,j}A_{i}}=A_{j} $
  • זהות העקבה: $ \ \sum _{i=1}^{n}{\delta _{i,i}}=n $

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הדלתא של קרונקר28792160