מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של
הלמים במחזור T.
במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים) (בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24287721519d2a0df8f12d0a7676db61fbf512c8)
ומאחר והסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709b82385d2deb82bcb40840fe9e574da832b8c9)
המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.
תכונת ההכפלה
תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק:
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615650dd98caae2ca27b572d4e2a4ec99248041c)
טור פורייה
ממחזוריות הפונקציה ב T נובע:
.
טור פורייה מרוכב לפונקציה מחזורית זו:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b45d2b38901dbe373ec59c21176bc3ed6d6396)
כאשר קבועי פוריה הם:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
והתוצאה :
.
התמרת פורייה
התמרת פורייה של מסרק דיראק היא גם מסרק דיראק:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb0956a3d38992fcfa763e8a4ce843ecbd95e3a)
עד כדי קבוע
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3edd2cf53633311e261e4d6a39ea88d119265b0)
דגימה
הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידיאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.
מקורות
- Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)
ראו גם
קישורים חיצוניים
36783773מסרק דיראק