אינטגרל לבג

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו בתורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי. לכל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן.

באינטגרל לבג מחושב השטח באמצעות התמונה של הפונקציה ולא באמצעות התחום שלה. היתרון בגישה זו הוא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה יותר ו"פתולוגית" פחות מתחום ההגדרה של הפונקציה. כלומר, עבור פונקציות שתחום ההגדרה שלהן מסובך והתמונה שלהן פשוטה, ניתן לעיתים לחשב את אינטגרל לבג אך לא את אינטגרל רימן, ולעיתים ניתן לחשב את אינטגרל רימן הלא אמיתי אך לא את לבג.

מבוא

אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כחישוב השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה־ $x$ . ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה במקרים מסוימים אחדים, אך לא פיתח שיטה כללית לאינטגרציה. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה, המבוססת על כך שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם ניסחו במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, המתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת, ונותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על חשבון אינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם לא היה מבוסס מבחינה לוגית. כך, ההוכחות שכתבו לא היו ריגורוזיות והכילו סתירות (ראו גם: אינפיניטסימל).

במאה ה-19 פיתח אוגוסטין לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות והעניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי. ברנהרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, הגדרה שנודעה כאינטגרל רימן. רימן חילק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם קטן באופן שרירותי וגובהם תלוי בערכה של הפונקציה בתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. אינטגרל רימן הוא גבול סכום שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן שואף לאפס. כלומר:

J_{\mbox{Riemann}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\sum {f(x_{i})\Delta x}}

עם זאת, רימן גילה שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים. על כן, לא היה ניתן לחשב עבורן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי רימן. בעקבות תגלית זו נקטו מתמטיקאים כמה גישות לטיפול בבעיה:

אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
הגדרת אינטגרלים לא-אמיתיים (Improper Integral) באמצעות גבולות.
ניסיון להכליל את האינטגרל של רימן עבור פונקציות "בעייתיות" יותר.

לבג נקט בגישה השלישית, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות שהן אינטגרביליות רימן: פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס. כלומר, כאשר יש לפונקציה "יותר מדי" נקודות אי-רציפות, לא ניתן לחלק את תחום הפונקציה למלבנים בהם התמונה אחידה יחסית, ואז אינטגרל רימן לא מוגדר.

לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, חקר לבג בתורת המידה והגדיר את מידת לבג על הישר הממשי (אותה נסמן באות m). מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחישוב: אם קצות הקטע $I$ הם $a$ ו- $b$ אזי אורך הקטע הוא $m(I)=|b-a|$ ). אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.

בחישוב אינטגרל לבג מופיעה סכימה שונה מזו המופיעה באינטגרל רימן. באינטגרל רימן מותאם לכל קטע הגובה שלו (שהוא ערך שמקבלת הפונקציה בו). לעומת זאת, באינטגרל לבג מתייחסים דווקא לטווח הערכים של הפונקציה. לכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות בתחום המקבלת ערך זה. כלומר:

J_{\mbox{Lebesgue}}\approx \sum _{i}{a_{i}\cdot m\left(f^{-1}(a_{i})\right)}

באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה

f

על ידי סדרה של פונקציות פשוטות (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של פונקציות מדרגה). הסדרה נבנית כך שהקירוב של

f

הולך ומשתפר. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב. האינטגרל של

f

ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים. את תהליך הבנייה נפרט להלן.

כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות. זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג. לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים. כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של אינטגרלים לא אמיתיים אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה^[1]. אינטגרל הנסטוק הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג.

בניית אינטגרל לבג

בסעיף זה מוסברת בניית אינטגרל לבג והרעיון שבבסיסה. מומלץ לקרוא על אינטגרל רימן ואת מידת לבג לפני שקוראים קטע זה.

אינטגרל לבג של פונקציות פשוטות חיוביות

פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא קבוצה סופית. כל פונקציה פשוטה (שהמציינים שלה הן על קבוצות מדידות) היא פונקציה מדידה.

תהי $f\colon X\to \mathbb {R}$ פונקציה פשוטה, כאשר $X$ הוא תחום ההגדרה שלה. לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית $y\in \operatorname {Im} f$ מתאימים את מידת לבג של הקבוצה ${\textstyle f^{-1}(y)\subset X}$ (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה $f$ בהם הוא $y$ ). אינטגרל לבג של $f$ מוגדר להיות

\ L=\int _{E}f\,\mathrm {d} m=\sum _{y\in \operatorname {Im} f}{y\cdot m\left(f^{-1}(y)\cap E\right)}

כאשר $E$ היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של $f$ . עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי. כך, כל עוד $m\left(f^{-1}(y)\cap E\right)<\infty$ ו- $f$ מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס. במקרה בו $m\left(f^{-1}(y)\cap E\right)=\infty$ ו- $y=0$ מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.

מכיוון ש- $f$ מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אפשר להציגה כ- $f(x)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}\cdot 1_{A_{k}}(x)$ ,כש- $y_{k}$ הוא ערך שהפונקציה מקבלת, $\ A_{k}$ הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו- $1_{A_{k}}(x)$ הוא הסימון לפונקציה מציינת של $A_{k}$ . כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה $\ f$ לפי המידה $\ m$ יהיה $\int _{E}f\,\mathrm {d} m=\sum _{k=1}^{n}y_{k}\cdot m(A_{k}\cap E)$ .

עבור פונקציה פשוטה רציפה למקוטעין, הגדרה זו מתלכדת עם אינטגרל רימן ומתקבלת אותה התוצאה. היתרון בגישה זו הוא שהשימוש במידה מתייחס לכל המלבנים שהם בעלי גובה $y_{k}$ כמאוחדים למלבן אחד, שאורך בסיסו הוא $m(A_{k}\cap E)$ . בפונקציה המקורית, מלבנים בעלי אותו גובה יכולים להיות מפוזרים לאורך כל תחום ההגדרה ולא להיות בדבוקה אחת. ניתן לפזר את המלבנים באופן שהגבול של אינטגרל רימן לא קיים עבורם. ברם, באינטגרל לבג, כאשר האורך הכולל של בסיסי כל המלבנים שגובהם הוא $y$ מחושב באמצעות מידת לבג - מידת הפיזור איננה משנה, אלא רק המידה הכוללת. פונקציית המידה "חזקה" מאוד ויכולה לטפל בקבוצות פתולוגיות כגון קבוצת קנטור, קבוצת כל המספרים האי-רציונליים וכדומה.

דוגמה: פונקציית דיריכלה

פונקציית דיריכלה היא פונקציה בקטע $[0,1]$ המוגדרת באופן הבא:

$0$ אם $x$ הוא מספר רציונלי
$a$ אם $x$ הוא מספר אי רציונלי

כלומר,

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Q} \\a&{\mbox{if }}x\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

לפונקציה זו אין אינטגרל במובן רימן, שכן בכל קטע - לא משנה כמה קטן - תמיד קיימים גם מספרים רציונליים וגם מספרים אי-רציונליים ולכן לא ניתן להגדיר מלבנים כך שתמונת הפונקציה עליהם אחידה פחות או יותר. לכן, הגבול בהגדרת אינטגרל רימן אינו מתכנס.

לעומת זאת, חישוב אינטגרל לבג של פונקציית דיריכלה הוא מיידי. המידה של המספרים הרציונליים בקטע [0,1] היא אפס. המידה של הקטע [0,1] היא 1. לכן המידה של קבוצת המספרים האי-רציונליים בקטע $[0,1]$ היא 1. מכאן, לפי ההגדרה:

\ L=\int _{[0,1]}f\,\mathrm {d} m=0\cdot m(\mathbb {Q} )+a\cdot m([0,1]-\mathbb {Q} )=0\cdot 0+a\cdot 1=a

.

הכללה לפונקציות מדידות אי-שליליות כלשהן

לפונקציות אלה, התמונה איננה בהכרח סופית. ההכללה של אינטגרל לבג עבורן מתבצעת על ידי קירוב הפונקציה באמצעות סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, חישוב האינטגרל עבור הפונקציות הפשוטות ומעבר לגבול תוצאות האינטגרל. באופן פורמלי, בהינתן סדרת פונקציות פשוטות אי-שליליות $\phi _{n}$ המתכנסת במידה שווה ובאופן מונוטוני ל- $f$ , אינטגרל לבג על $f$ מוגדר להיות גבול האינטגרלים על סדרה זו.

הגדרה שקולה, אך פשוטה יותר ונוחה יותר: תהי $f\colon X\to \mathbb {R} _{+}$ פונקציה מדידה ואי-שלילית. נגדיר את אינטגרל לבג של $f$ להיות $L=\int _{E}f\,\mathrm {d} m=\sup {\left\{\int _{E}{\phi \,\mathrm {d} m}\ :\ \phi \leq f\,\ \phi \ {\mbox{is simple}}\right\}}$ .

הכללה לפונקציות מדידות כלשהן

כדי לטפל בפונקציה שיכולה להיות גם חיובית וגם שלילית, מחלקים את הפונקציה לשני חלקים:

$f_{+}(x)=\max\{f(x),0\}$
$f_{-}(x)=\max\{0,-f(x)\}$

כך, מתקיים ש:

$\ f=f_{+}-f_{-}$
$\ |f|=f_{+}+f_{-}$

ואז אינטגרל לבג מוגדר להיות:

\int f\,\mathrm {d} m=\int f_{+}\,\mathrm {d} m-\int f_{-}\,\mathrm {d} m

ככלל, ייתכן שתוצאת אחד האינטגרלים באגף ימין תהא אינסוף; במקרה בו אחד האינטגרלים הוא אינסופי והשני סופי, האינטגרל הכללי מוגדר להיות פלוס או מינוס אינסוף (בהתאם לסימן שלפני האינטגרל שמתבדר). כאשר שני האינטגרלים באגף ימין מתבדרים, אינטגרל לבג אינו מוגדר.

תכונות אינטגרל לבג

באופן כללי, אינטגרל לבג מקיים את כל התכונות של אינטגרל רימן בנוגע לאלגברה של אינטגרלים. בנוסף לתכונות אלה מתקיימות גם מספר תכונות מיוחדות, הנובעות מתורת המידה ומהשימוש במידה להגדרת האינטגרל.

אינטגרל לבג של פונקציה מציינת של קבוצה מדידה $A$ הוא המידה של $A$ , כלומר: $\int 1_{A}\,\mathrm {d} m=m(A)$ .
אינטגרל לבג לא מושפע משינויים שנעשים על הפונקציה בקבוצת נקודות שמידתה אפס.