החלפת משתנה

החלפת משתנה היא הליך מתמטי בו מוחלף חלק מביטוי מתמטי נתון (בכלל זאת, אחד מהמשתנים המאפיינים בעיה מסוימת) במשתנה עזר אשר לא הופיע בתיאור הבעיה המקורית. לאחר ביצוע הליך זה, מתקבל ביטוי מתמטי חדש, שקול אל הקודם, התלוי במשתנה המוחלף המאפיין את אותה הבעיה. משמעות הדבר היא כי פתרון הבעיה בצורתה החדשה זהה לפתרון אשר היה מתקבל אלמלא היה נעשה שימוש בהליך זה. לרוב, להחלפת משתנה אין משמעות מתמטית משום שהיא איננה משנה את משמעות הביטויים בהם היא מעורבת, אלא את דרך הצגתם.

לעיתים, מוביל הליך זה לקבלת ביטוי "נוח יותר" על ידי קיצורו או על ידי שינוי המבנה שלו. לפיכך, החלפת משתנה היא שיטה נפוצה לפישוטן של בעיות רבות מתחומים שונים, ביניהם פתרון משוואות (אלגבריות, דיפרנציאליות או אינטגרליות), חישוב אינטגרלים וגבולות ועוד.

כללים הנוגעים להחלפת משתנה

בחישובים מסוימים, בפרט בחשבון אינפיניטסימלי, ישנה חשיבות לא רק למשתנה בו עוסקת הבעיה אלא גם לנתונים נוספים לגביו, כגון הדיפרנציאל שלו או ערך מסוים אליו הוא שואף. במקרים כאלו, בעת ביצוע החלפת המשתנה, יש לעדכן את הנתונים הרלוונטיים. כך, למשל, בעת החלפת משתנה באינטגרל מסוים מתעדכנים גבולות האינטגרציה והדיפרנציאל.

דוגמאות לשימוש בהחלפת משתנה

פתרון משוואה ממעלה שלישית או משוואה ממעלה רביעית במקרה הכללי דורש שימוש במספר החלפות משתנה. ראו את הערכים משוואה ממעלה שלישית ומשוואה ממעלה רביעית להרחבה.
במקרה הפרטי של משוואה ממעלה רביעית מהצורה $\ ax^{4}+bx^{2}+c=0$ (משוואה זו נקראת לעיתים "משוואה דו-ריבועית") ניתן להחליף את המשתנה הריבועי באחר, נניח $\ t$ , ולקבל משוואה ריבועית $\ at^{2}+bt+c=0$ . באופן דומה ניתן להכליל שיטה זו לפתרון משוואות מהצורה $\ ax^{2n}+bx^{n}+c=0$ על ידי ביצוע החלפה $\ x^{n}=t$ שתניב אף היא משוואה ריבועית.
אחת מהשיטות לחישוב אינטגרלים היא שיטת ההצבה בה מחליפים את משתנה האינטגרציה. ראו את הערך שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים להרחבה.
את המשוואה $\ -e^{2x}-5e^{x}+6=0$ ניתן לפתור על ידי סימון $\ e^{x}=t$ ופתירת המשוואה הריבועית $\ -t^{2}-5t+6=0$ . לאחר פתירת המשוואה הריבועית מתקבלים הפתרונות $\ t_{1}=-6,t_{2}=1$ . כיוון שמתקיים $\ e^{x}=t$ וכיוון שפונקציה מעריכית היא חיובית בכל תחום ממשי של הגדרתה, הפתרון $\ t=e^{x}=-6$ , נפסל עבור x ממשי (אין שום x ממשי עבורו שוויון זה מתקיים). מהפתרון השני מתקבל $\ t=e^{x}=1\Rightarrow x=0$ . ניתן לראות כי לסימון $\ e^{x}=t$ אין משמעות מתמטית משום שניתן היה לפתור את המשוואה באותה הדרך עבור המשתנה $\ e^{x}$ גם מבלי לסמנו באות אחרת, כך שהיתרון בשינוי הסימון הוא בעיקר פישוט הכתיבה.