פונקציית מדרגה

פונקציית מדרגה. פה הערך ב-0 מוגדר להיות 0.5

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [0,\infty)} : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta (x) = H(x)= u(x)= 1_{[0,\infty)}(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & x < 0 \\ 1 & & x \ge 0 \end{matrix}\right. } (הערך ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x=0} מוגדר לעיתים אחרת, למשל $H(0)={\frac {1}{2}}$ ).

תכונות הפונקציה:

הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל- $x=0$ .
הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל- $x=0$ .
הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
באופן לא פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H} היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך $0$ , פרט לנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=0} בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש- $H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,\mathrm {d} s$ פרט אולי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} .
הפונקציה הקדומה של $H$ היא $\mathrm {Ramp} (x)=\int _{-\infty }^{x}H(t)\,\mathrm {d} t=x\cdot H(x)$ , שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.