פונקציית מדרגה
(הופנה מהדף פונקציית הביסייד)

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $ \ [0,\infty ) $: $ {\displaystyle \theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\infty )}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x<0\\1&&x\geq 0\end{matrix}}\right.} $ (הערך ב-$ \,x=0 $ מוגדר לעיתים אחרת, למשל $ H(0)={\frac {1}{2}} $).
תכונות הפונקציה:
- הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-$ x=0 $.
- הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-$ x=0 $.
- הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
- באופן לא פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של $ \ H $ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך $ 0 $, פרט לנקודה $ \ x=0 $ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-$ H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,\mathrm {d} s $ פרט אולי ל-$ x=0 $.
- הפונקציה הקדומה של $ H $ היא $ \mathrm {Ramp} (x)=\int _{-\infty }^{x}H(t)\,\mathrm {d} t=x\cdot H(x) $, שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציית מדרגה, באתר MathWorld (באנגלית)
פונקציית מדרגה29199510Q322339