משפט הערך הממוצע של לגראנז'

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף בנקודה $c$ , מקביל למיתר הכתום המחבר את קצות גרף הפונקציה בקטע $[a,b]$

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי העוסק במשיק לפונקציה רציפה בקטע סגור. לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע (למעט אולי נקודות הקצה), אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה. משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה. ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, ייתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים. אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.

בניסוח אחר, המשפט מתייחס להשתנות של הפונקציה בין נקודות הקצה של הקטע – ומראה שתמיד קיימת נקודה שהשינוי הרגעי בה שווה לשעור ההשתנות הממוצע. לדוגמא, אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקציית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה – כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).

אף שהמשפט אינו נותן כלי מעשי למציאת הנקודה שבה מתקבל הממוצע, יש לו חשיבות תאורטית רבה והוא שימושי בהוכחתם של משפטים רבים, שכן הוא מסייע להעריך את השינוי בערכה של פונקציה באמצעות הכרת נגזרתה.

משפט הערך הממוצע

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

הוכחה

תהי $g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\bigl (}a,f(a){\bigr )},{\bigl (}b,f(b){\bigr )}$ . זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $g'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

עתה נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-g(x)$ . זוהי פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h'(c)=0$ .

$$h'(c)=f'(c)-g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\quad \Rightarrow \quad f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$

גרסה אינטגרלית

למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל. המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה $f$ בקטע $[a,b]$ קיימת $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$ .

המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה $f(c)$ על הגרף של $f$ כך שהשטח מתחת לגרף של $f$ שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע $[a,b]$ וגובהו כגובה הנקודה $f(c)$ .

קיימת גרסה נוספת למשפט, כך שאם $f$ רציפה בקטע $[a,b]$ ו-$g$ פונקציה אינטגרבילית שלא משנה סימן בקטע $(a,b)$ (תמיד חיובית או תמיד שלילית), אזי קיימת $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$

הערות

• ממשפט הערך הממוצע נובע שאם פונקציה גזירה בקטע פתוח והנגזרת שלה זהותית אפס בו, אז הפונקציה בהכרח קבועה.
• משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
• ממשפט הערך הממוצע ניתן לקבל את שארית לגראנז' של פיתוח טיילור.
• ממשפט הערך הממוצע נובע כי פונקציה גזירה בעלת נגזרת חסומה מקיימת את תנאי ליפשיץ (ולכן רציפה במידה שווה).