משפט הערך הממוצע של לגראנז'

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , מקביל למיתר הכתום המחבר את קצות גרף הפונקציה בקטע $[a,b]$

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי העוסק במשיק לפונקציה רציפה בקטע סגור. לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע (למעט אולי נקודות הקצה), אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה. משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה. ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, ייתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים. אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.

בניסוח אחר, המשפט מתייחס להשתנות של הפונקציה בין נקודות הקצה של הקטע – ומראה שתמיד קיימת נקודה שהשינוי הרגעי בה שווה לשעור ההשתנות הממוצע. לדוגמא, אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקציית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה – כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).

אף שהמשפט אינו נותן כלי מעשי למציאת הנקודה שבה מתקבל הממוצע, יש לו חשיבות תאורטית רבה והוא שימושי בהוכחתם של משפטים רבים, שכן הוא מסייע להעריך את השינוי בערכה של פונקציה באמצעות הכרת נגזרתה.

משפט הערך הממוצע

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

הוכחה

תהי $g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\bigl (}a,f(a){\bigr )},{\bigl (}b,f(b){\bigr )}$ . זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $g'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

עתה נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-g(x)$ . זוהי פונקציה רציפה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(a)=h(b)=0} .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x)} מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\in(a,b)} עבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h'(c)=0} .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h'(c)=f'(c)-g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\quad\Rightarrow\quad f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}

גרסה אינטגרלית

למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל. המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בקטע $[a,b]$ קיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\in(a,b)} עבורה מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)} .

המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(c)} על הגרף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כך שהשטח מתחת לגרף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} וגובהו כגובה הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(c)} .

קיימת גרסה נוספת למשפט, כך שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} רציפה בקטע $[a,b]$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} פונקציה אינטגרבילית שלא משנה סימן בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} (תמיד חיובית או תמיד שלילית), אזי קיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\in(a,b)} עבורה מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_a^b f(x)g(x)dx=f(c)\int\limits_a^b g(x)dx}

הערות

• ממשפט הערך הממוצע נובע שאם פונקציה גזירה בקטע פתוח והנגזרת שלה זהותית אפס בו, אז הפונקציה בהכרח קבועה.
• משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
• ממשפט הערך הממוצע ניתן לקבל את שארית לגראנז' של פיתוח טיילור.
• ממשפט הערך הממוצע נובע כי פונקציה גזירה בעלת נגזרת חסומה מקיימת את תנאי ליפשיץ (ולכן רציפה במידה שווה).