חבורת קוקסטר

בתורת החבורות, חבורת קוקסטר היא חבורה (סופית או אינסופית), בעלת הצגה פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על הסדר של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי שיקופים במרחב וקטורי (שלו מתאימה תבנית ריבועית, המגדירה לעיתים קרובות מרחב מכפלה פנימית), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: אלגברות לי, חבורות אלגבריות, קומבינטוריקה וגאומטריה.

הגדרה

חבורת קוקסטר $W$ היא חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית $\ S=\{s_{1},\dots ,s_{n}\}$, בכפוף ליחסים מהצורה $\ s_{i}^{2}=1$ ו-$\ (s_{i}s_{j})^{m_{ij}}=1$ בלבד. רושמים:

$W=\langle s_{1},...,s_{n}\mid (s_{i}s_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$

כאשר:

• לכל i מתקיים $m_{ii}=1$, כלומר היחס $s_{i}s_{i}=s_{i}^{2}=1$.
• אם אין יחסים בין $s_{i}$ ו-$s_{j}$ נהוג לסמן זאת $(s_{i}s_{j})^{\infty }=1$, כלומר: $m_{ij}=\infty$.
• נשים לב שאם $m_{ij}=2$ אז $s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}$ (כלומר: $s_{i}$ ו-$s_{j}$ ומתחלפים).

הזוג $(W,S)$ נקרא מערכת קוקסטר. קבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.

את החזקות $\ m_{ij}$ אפשר לאסוף במטריצת קוקסטר, שהיא מטריצה סימטרית עם ערכים טבעיים (או אינסוף) בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1. הערך אינסוף בנקודה (i,j) מציין שאין יחס מהצורה $\ (s_{i}s_{j})^{m}=1$.

דיאגרמת קוקסטר

דיאגרמת קוקסטר הינה דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי גרף בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, $s_{i}$ ו-$s_{j}$, מחוברים בקשת אם $m_{ij}\geq 3$ והקשת מסומנת ב-$m_{ij}$ כאשר $m_{ij}\geq 4$. מהגדרה זו נובע שיוצרים שאינם מחוברים בקשת, מתחלפים זה עם זה. בפרט, החבורה המתאימה לגרף קוקסטר איזומורפית למכפלה הישרה של החבורות המתאימות למרכיבי הקשירות. משום כך, מספיק ללמוד את החבורות המתאימות לדיאגרמות קשירות.

הקשר לשיקופים

על-פי ההגדרה, חבורת קוקסטר נוצרת על ידי קבוצה סופית $\ S=\{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ של איברים מסדר 2, בכפוף ליחסים מהצורה $\ (s_{i}s_{j})^{m_{ij}}=1$ בלבד. לדוגמה, כאשר מדובר בשני יוצרים, היחסים הם $\ s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=(s_{1}s_{2})^{m}=1$, בדיוק אלו של החבורה הדיהדרלית שסדרה 2m. כדי להבין את המבנה הגאומטרי, נעיר שאם s ו- t הם שיקופים בניצב לזוג ישרים שהזווית ביניהם היא $\ \pi /m$, אז $\ (st)^{m}=1$.

היסטוריה

כמושג עצמאי, חבורות קוקסטר נולדו רק בשנות ה-60, כאשר ז'אק טיץ הבחין שההגדרה המופשטת באמצעות יוצרים ויחסים מספיקה כדי לקבל את כל המבנה הגאומטרי השייך בדין לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים. הוא קרא להן על-שם ה.ס.מ. קוקסטר, שעסק בחבורות של שיקופים כשלושים שנה קודם לכן, ומיין את כל החבורות הדיסקרטיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב האוקלידי (מממד כלשהו).

לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים יש היסטוריה מתמטית ארוכה. החלוץ בכיוון זה היה פרדיננד מביוס, שב-1852 מצא את כל החבורות הסופיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב התלת-ממדי. ב-1890 מיינו קילינג ואלי קרטן את אלגברות לי הפשוטות למחצה, במונחים של מערכות שורשים. ב-1925 הראה אנדרה וייל שחבורת הסימטריות של מערכת שורשים היא חבורה סופית, הנוצרת על ידי שיקופים במרחב שבו השורשים מוגדרים. בכל המקרים האלה מדובר היה בשיקופים במרחב האוקלידי, ביחס לעל-מישורים במובן הרגיל.

טיץ הוכיח שאם S היא קבוצת היוצרים של חבורת קוקסטר, אז לכל מטריצה m של סדרים אפשר להגדיר על המרחב $\ \mathbb {R} ^{|S|}$ תבנית ריבועית, שביחס אליה החבורה פועלת כחבורת איזומטריות, כאשר היוצרים הם שיקופים (בפרט, לחבורת קוקסטר יש הצגה לינארית נאמנה מממד סופי).

התוצאה המרכזית שהתקבלה בחקר חבורות קוקסטר היא המיון השלם (במונחי דיאגרמות דינקין) של חבורות קוקסטר סופיות, של חבורות קוקסטר אפיניות, ושל חבורות קוקסטר היפרבוליות. במקביל, נלמדו מבנים מתמטיים רבים המוגדרים עבור חבורת קוקסטר נתונה, ובהם אלגברת הקה מתאימה, פולינומי קשדן-לוסטיג וסדר ברוה של החבורה. כל אלה יצרו קשרים הדוקים בין חבורות קוקסטר לתורה של אלגברות לי, לתורה הקומבינטורית והגאומטרית של בניינים, לקומבינטוריקה בכלל, ולתורת החבורות הגאומטרית.

דוגמאות

חבורת התמורות $\ S_{n}$ נוצרת על ידי החילופים $\ (1,2),(2,3),\dots ,(n-1,n)$. קל לראות שהסדר של מכפלת שני חילופים הוא 2 אם הם זרים, ו- 3 אם אינם זרים. בו-בזמן, החבורה פועלת על המרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{n}$ בדרך של פעולה על האינדקסים, ובהצגה זו (הקרויה "ההצגה הטבעית" של החבורה הסימטרית) החילופים פועלים כשיקופים. מן ההצגה הזו של החבורה הסימטרית כחבורת קוקסטר אפשר לראות שהיחסים על מכפלות החילופים מגדירים אותה בשלמות. למרבה הבלבול, לדיאגרמת דינקין המתקבלת קוראים, מסיבות היסטוריות, $\ A_{n-1}$, וכך יש ל"חבורת קוקסטר מטיפוס $\ A_{n-1}$" תת-חבורה מאינדקס 2 (חבורת התמורות הזוגיות), שאותה מסמנים ב- $\ A_{n}$.

החבורה מטיפוס $\ A_{n-1}$ היא תת-חבורה (מאינדקס $\ 2^{n-1}$) בחבורת קוקסטר מטיפוס $\ D_{n-1}$, וזו היא תת-חבורה (מאינדקס 2) של החבורה מטיפוס $\ B_{n-1}$. את האחרונה אפשר לראות כתת-חבורה של החבורה הסימטרית $\ S_{2n}$, הפועלת על המספרים $\ \{-1,\dots ,-n,1,\dots ,n\}$, עם התנאי $\ \sigma (-i)=-\sigma (i)$.

ראו גם

• חבורת ארטין