חבורת התמורות הזוגיות

בתורת החבורות, חבורת התמורות הזוגיות הוא שמה של תת־חבורות נורמלית מסוימת וחשובה של החבורה הסימטרית. לכל מספר טבעי $\ 1<n$ , מחצית מבין $\ n!$ התמורות בחבורה הסימטרית $\ S_{n}$ הן בעלות סימן $\ +1$ , ומחצית הן בעלות סימן $\ -1$ . הקבוצה של $\ {\frac {n!}{2}}$ התמורות בעלות סימן חיובי היא תת־חבורה מאינדקס 2 של $\ S_{n}$ – חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות $\ A_{n}$ (Alternating Group). בעקבות המיון של מערכות שורשים, סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור חבורת קוקסטר.

כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של חילופים (טרנספוזיציות). ניתן להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע; עם זאת, הזוגיות של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. חבורת התמורות הזוגיות כוללת את התמורות שהן מכפלת מספר זוגי של חילופים. מכיוון שסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים ($\ {\mbox{sgn}}(\tau \cdot \sigma )={\mbox{sgn}}(\tau )\cdot {\mbox{sgn}}(\sigma )$), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגיות מהווה חבורה.

למשל, $\ A_{3}$ כוללת את כל המחזורים באורך 3, בעלי הצורה $\ (abc)$ . קבוצת המחזורים באורך 3 יוצרת את $\ A_{3}$. אם $\ n\geq 4$ אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה $\ (ab)(cd)$ כאשר $\ a,b,c,d$ שונים זה מזה.

חשיבותן הרבה של החבורות $\ A_{n}$ נובעת מכך שהן חבורות פשוטות לכל $\ n\geq 5$ . בפרט, החבורה $\ A_{5}$ שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה ציקלית). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 החבורות הספורדיות, הן חבורות של מטריצות מעל שדות סופיים. העובדה שהחבורות $\ A_{n}$ הנ"ל הן פשוטות לכל $\ n\geq 5$ , משמשת למשל בהוכחת אחד המשפטים המרכזיים בתורת גלואה – שלא קיימת נוסחה כללית לפתרון פולינום מדרגה 5 ומעלה.

מן העובדה כי $\ A_{n}$ פשוטה נובע שזוהי תת־החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית $\ S_{n}$; עובדה זו נכונה אפילו כאשר $\ n<5$ . אם $\ n\geq 5$ אז אין לחבורה הסימטרית אף תת־חבורה אחרת מאינדקס $\ n\geq 5$ (זוהי תוצאה של העידון של משפט קיילי). לעומת זאת, לחבורה $\ S_{4}$ יש שלוש תת־חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות לחבורה הדיהדרלית מסדר 8.

החבורות הקטנות

חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{4}$ אינה פשוטה: יש לה סדרת ההרכב

$\ \{1\}\leq \ \langle (12)(34)\rangle \ \leq \ \langle (12)(34),(14)(23)\rangle \ \leq A_{4}$

חבורה זו מספקת את הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר לכיוון ההפוך של משפט לגראנז': אין לה תת־חבורה מסדר 6.

מבין הגופים האפלטוניים, חבורת התמורות של הארבעון בן 4 הפאות המשולשות, שווה לחבורה $\ A_{4}$ . חבורות התמורות של הקובייה ושל התמניון בן 8 הפאות המשולשות איזומורפיות שתיהן לחבורה הסימטרית $\ S_{4}$ . המילטון הוכיח ב־1856 שחבורת תמורות של התריסרון בן 12 הפאות המחומשות ושל העשרימון בן 20 הפאות המשולשות איזומורפית ל־$\ A_{5}$ .

לתיאור גאומטרי זה של החבורות יש קשר הדוק להצגה שלהן לפי יוצרים ויחסים:

• $\ A_{4}=\langle x,y|x^{2}=y^{3}=(xy)^{3}=1\rangle$
• $\ S_{4}=\langle x,y|x^{2}=y^{3}=(xy)^{4}=1\rangle$
• $\ A_{5}=\langle x,y|x^{2}=y^{3}=(xy)^{5}=1\rangle$

להשלמת התמונה, יש לציין כי החבורה $\ \langle x,y|x^{2}=y^{3}=(xy)^{6}=1\rangle$ אינסופית וגרף קיילי שלה מרצף את המישור באמצעות משולשים ותריסריונים משוכללים.

בכמה מקרים אפשר להציג חבורה של תמורות זוגיות גם כחבורת מטריצות מעל שדה סופי:

$\ A_{4}\cong {\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {F} _{3})$ , $\ A_{5}\cong {\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {F} _{5})$,$\ A_{6}\cong {\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {F} _{9})$

לעומת זאת, $\ A_{8}$ ו־$\ {\mbox{PSL}}_{3}(\mathbb {F} _{4})$ הן חבורות פשוטות לא־איזומורפיות מאותו סדר.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0