אלגברת לי פשוטה למחצה

באלגברה מופשטת, אלגברת לי פשוטה למחצה היא אלגברת לי בעלת רדיקל טריוויאלי. אלגברות לי פשוטות למחצה הן מהאובייקטים החשובים ביותר בתחום, ויש להן מיון מלא. תנאי שקול לפשוטה למחצה נתון על ידי תבנית קילינג.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $F$. הרדיקל של $L$ הוא האידאל הפתיר המקסימלי המוכל ב-$L$. אידאל כזה קיים ויחיד, מפני שסכום של שני אידאלים פתירים הוא שוב פתיר. את הרידקל מסמנים $\operatorname {Rad} (L)$.

$L$ נקראת פשוטה למחצה אם הרדיקל שלה טריוויאלי: $\operatorname {Rad} (L)=0$.

הגדרות שקולות

התנאים הבאים להיותה של $L$ פשוטה למחצה שקולים:

• תבנית קילינג שלה רגולית.

• כל אידאל אבלי שלה טריוויאלי.

• כל אידאל פתיר שלה טריוויאלי.

כסכום של אלגברות לי פשוטות

לעיתים מגדירים אלגברת לי פשוטה למחצה כסכום ישר של אלגברות לי פשוטות. ההגדרות שקולות:

משפט: כל אלגברת לי פשוטה למחצה היא סכום ישר של אידאלים פשוטים שלה. צורה זו הוא יחידה עד כדי שינוי סדר המחוברים.

כמסקנה ממשפט זה, נובע כי כל אלגברת לי פשוטה למחצה $L$ מקיימת $[L,L]=L$, וכל אידאל או תמונה אפימורפית שלה פשוטה למחצה. גם נובע כי כל אידאל של $L$ הוא סכום של אידאלים פשוטים של $L$.

תכונה חשובה נוספת היא ש הנגזרות של אלגברת לי פשוטה למחצה מתלכדות עם העתקות הצמוד שלה, כלומר כל נגזרת היא מהצורה $\operatorname {ad} x$.

ראו גם

• אידאל (אלגברת לי)
• אלגברת לי פתירה
• אלגברת לי נילפוטנטית
• תבנית קילינג

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, p. 11,15,22-23

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.