חבורת סימטריות

במתמטיקה ויישומיה, חבורת סימטריות של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האובייקט, תוך שמירה על תכונותיו היסודיות. דרכים אלו, העשויות לכלול למשל סיבובים השומרים את האובייקט במקומו, נקראות "פעולות". פעולה טיפוסית עשויה להחליף, ללא עיוות, את מקומם היחסי של חלקי האובייקט, כך שהוא יחזור לתפוס את אותו מקום במרחב.

ההרכבה של פעולות, דהיינו, ביצוען בזו אחר זו, הופכת את האוסף לחבורה, שתכונותיה כרוכות באלו של האובייקט שבו מדובר, דרך הפעולה של החבורה על האובייקט. חבורת הסימטריות של מבנה מתמטי נקראת חבורת אוטומורפיזמים. מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, בכימיה ובקריסטלוגרפיה.

תכולתה של חבורת הסימטריות

בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע במרחב שבו האובייקט מופיע. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו. דרישה זו הופכת את כל חבורות הסימטריה של אובייקטים במרחב X, לתת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים של X, ולכן יש לחבורות האוטומורפיזמים של מרחבים חשובים (כגון המרחב האוקלידי) מעמד מרכזי בחקר הסימטריות.

כדי לקבוע את הרכבה המדויק של חבורת הסימטריות, יש לקבוע בנוסף לדרישות המרחביות עוד שני תנאים: (1) מהן התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור; (2) מהם הקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו.

דוגמאות

אחד האובייקטים השכיחים והקלים ביותר לתיאור הוא תמורה: שורה שמסודרים בה n עצמים שונים זה מזה. חבורת הסימטריות כוללת במקרה זה את כל הדרכים לסדר את העצמים מחדש, תוך שמירה על עצם קיומה של השורה המסודרת. אופן הזזת העצמים במהלך הסידור אינו נלקח בחשבון, אלא רק הסידור הסופי של העצמים, וכך יש בדיוק n עצרת פעולות שונות. חבורת הסימטריות הזו נקראת החבורה הסימטרית.

חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל בעל n צלעות תלויה בשאלה האם שיקוף היא פעולה מותרת. אם כן, ישנן 2n דרכים להזיז את קודקודי המצולע באופן שהמצולע יחזור למקומו (לרבות הפעולה הטריוויאלית, שבה המצולע אינו זז כלל); חבורת הסימטריות במקרה זה היא החבורה הדיהדרלית. אם שיקוף אינו נחשב לפעולה חוקית, נותרים רק n הסיבובים, המרכיבים יחד חבורה ציקלית מסדר n.

חבורת הסימטריות של קובייה כוללת 24 איברים, מכיוון שבכל פעולה יש לקבוע לאיזה משמונת הקודקודים יעבור קודקוד נתון, ואחר-כך לקבוע לאיזה משלושה השכנים של אותו קודקוד יעבור קודקוד סמוך לקודקוד הנתון. פעולות אלה ניתנות כולן למימוש כפעולות על המרחב האוקלידי התלת-ממדי. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של הגרף המתאר את הקוביה (שהוא הגרף המופשט הכולל רק 8 קודקודים ו-12 צלעות מחברות) היא בת 48 איברים, משום שבמקרה זה מוסכם שגם פעולת השיקוף היא פעולה חוקית.

סימטריות של אובייקטים מרחביים

חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת מרכז הכובד שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של סריג אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.

במקרים מסוימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמה, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא החבורה הציקלית האינסופית; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות $\ \sigma$ ), שיקוף $\ \tau$ סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \tau$ . הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \sigma \tau \sigma ^{-1}$ . ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \sigma \tau =\tau \sigma ^{-1}$ . החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).

חבורות הסימטריה של המרחבים האוקלידיים

חבורת הסימטריות של מרחב מטרי נקראת חבורת האיזומטריות של המרחב, והיא כוללת את כל הפונקציות ההפיכות $\ f:X\rightarrow X$ , השומרות על המטריקה d: $\ d(f(x),f(y))=d(x,y)$ . במרחב האוקלידי V (עם המטריקה המושרית על ידי הנורמה הסטנדרטית), חבורת האיזומטריות היא אוסף כל הפעולות $\ x\mapsto Ax+v$ כאשר $\ A\in O_{n}(\mathbb {R} )$ היא מטריצה אורתוגונלית, ו- $\ v\in V$ . החבורה מורכבת משתי תת-חבורות: אוסף ההזזות $\ x\mapsto x+v$ , שהוא תת חבורה נורמלית, איזומורפית למרחב עצמו, וחבורת הסיבובים $\ O_{n}(\mathbb {R} )=\{A:AA^{t}=I\}$ , שהיא חבורת לי קומפקטית מממד $\ {\binom {n-1}{2}}$ .