בניין (מתמטיקה)

במתמטיקה, בניין הוא מבנה גאומטרי-קומבינטורי (קומפלקס סימפליציאלי) בעל תכונות סימטריה יוצאות דופן, המכלילות תכונות של מישורים פרויקטיביים סופיים ומרחבים סימטריים של חבורות לי.

את תורת הבניינים פיתחו ז'אק טיץ (אנ') ופרנסואה ברוהא (אנ'), בתחילה כדי להבין את המבנה של חבורות חריגות מטיפוס לי מעל שדה כלשהו, ואחר-כך כדי ללמוד את הגאומטריה והטופולוגיה של מרחבים הומוגניים של חבורות לי p-אדיות וחבורות הסימטריה שלהם, בדומה לאופן שבו עצים רגולריים מאפשרים ללמוד חבורות חופשיות.

הגדרה

קומפלקס סימפליציאלי על מרחב X הוא אוסף של תת-קבוצות (סופיות) של X, הכולל יחד עם כל תת-קבוצה גם את תת-הקבוצות שלה. האיברים של הקומפלקס נקראים תאים. אפשר להניח שכל נקודה של X שייכת לאיזשהו תא, ולכן כל נקודון $\ \{x_{0}\}$ מהווה תא. תאים אלו נקראים קודקודים. אפשר לזהות את המרחב X עם קבוצת הקודקודים (למרות שפורמלית הקודקודים הם תת-קבוצות בנות איבר אחד של X, ולא איברים בעצמם).

הממד של תא קטן ב-1 ממספר הנקודות בו. באופן זה, תא 0-ממדי הוא קודקוד $\ \{x_{0}\}$ , תא 1-ממדי הוא קשת $\ \{x_{0},x_{1}\}$ (ה"מחברת" את הקודקודים $\ \{x_{0}\}$ ו- $\ \{x_{1}\}$ ), תא 2-ממדי הוא משולש $\ \{x_{0},x_{1},x_{2}\}$ (העובר דרך הקודקודים שלו), וכן הלאה: תא $i$ -ממדי הוא "סימפלקס" $\ \{x_{0},\dots ,x_{i}\}$ , העובר דרך הקודקודים $\ \{x_{0}\},\dots ,\{x_{i}\}$ . בעוד שהסימפלקס הוא מבנה גאומטרי (פירמידה i-ממדית), תא i-ממדי אינו אלא ייצוג קומבינטורי של המבנה הזה. התא הריק הוא בעל ממד $-1$ .

הממד של הקומפלקס הוא הממד המקסימלי של תאים בקומפלקס. כך, קומפלקס 0-ממדי הוא מקבץ של קודקודים; וקומפלקס 1-ממדי הוא גרף.

בקומפלקס d-ממדי, כל תא מממד d נקרא חדר (chamber, על פי המקור בצרפתית), וכל תא מממד $\ d-1$ נקרא קיר. ממילא, לכל חדר יש בדיוק $\ d+1$ קירות. גלריה היא סדרה של חדרים $\ C_{0},\dots ,C_{n}$ שכל שניים סמוכים מהם חולקים קיר משותף. אומרים שהגלריה מחברת את החדרים שבקצות השרשרת, היינו $\ C_{0}$ ו- $\ C_{n}$ . לדוגמא, בקומפלקס 1-ממדי, שהוא כאמור גרף, החדרים והקירות אינם אלא קשתות וקודקודים, בהתאמה. גלריה אינה אלא מסלול בגרף (המחבר את שתי הקשתות שבקצוות). בקומפלקס 2-ממדי החדרים הם משולשים, וגלריה היא סדרה של משולשים שכל שניים מהם חולקים קשת משותפת.

קומפלקס חדרים הוא קומפלקס d-ממדי שבו: (1) כל תא מקסימלי הוא חדר, (2) בין כל שני תאים מחברת גלריה. כדי שגרף יהיה קומפלקס חדרים, אסור שיהיו לו נקודות מבודדות ועליו להיות גרף קשיר.

יש הפרדה עקרונית בין שני סוגים של קומפלקס חדרים: קומפלקס חדרים דק הוא כזה שבו כל קיר שייך לשני חדרים, וקומפלקס חדרים עבה הוא כזה שבו כל קיר שייך ליותר משני חדרים. קומפלקס חדרים הוא רגולרי אם מספר החדרים העוברים דרך קיר נתון הוא קבוע; נוח לסמן את הקבוע הזה ב- $\ q+1$ (כלומר, הקומפלקס דק אם q=1 ועבה אם q>1). גם כאן הטרמינולוגיה מכלילה את זו של תורת הגרפים: קומפלקס חדרים רגולרי אינו אלא גרף קשיר רגולרי.

בניין הוא קומפלקס חדרים עבה, יחד עם משפחה של תת-קומפלקסים הקרויים דירות, ומקיימים את התכונות הבאות: (1) כל דירה היא קומפלקס חדרים דק. (2) לכל שני חדרים בבניין יש דירה משותפת (כלומר דירה ששניהם שייכים אליה). (3) לכל שתי דירות $\ A,A'$ , ולכל שני תאים $\ C,C'\in A\cap A'$ (מממד כלשהו), יש איזומורפיזם $\ A\rightarrow A'$ השומר על כל נקודה בתאים $\ C,C'$ (למעשה מספיק לדרוש את התכונה הזו כאשר $\ C$ הוא חדר, כלומר תא מממד מלא).

בשל התכונה האחרונה, כל הדירות בבניין איזומורפיות זו לזו. בניין נקרא ספירי אם הדירות שלו מהוות טריאנגולציה של הספירה הטופולוגית, ואפיני אם הדירות שלו מהוות טריאנגולציה של המרחב האוקלידי.

כל דירה בבניין היא קומפלקס קוקסטר. הגדרה רחבה יותר מכלילה תחת המונח "בניין" גם קומפלקסי חדרים דקים, בתנאי שהם קומפלקסי קוקסטר.

בניינים ספיריים

החשיבות המיוחדת של בניינים היא בקשר שלהם לחבורות אלגבריות, ולמיון של אלו לפי דיאגרמת דינקין. בגלל הקשר הזה, מגדירים את הדרגה של בניין כ-1 יותר מן הממד שלו.

כל בניין ספירי הוא מכפלה של "בניינים אי-פריקים". טיץ הצליח למיין את הבניינים הספריים האי-פריקים (מדרגה 3 ומעלה), והראה שלכל בניין ספירי (אי-פריק, מדרגה 3 ומעלה) יש טיפוס מוגדר היטב מן הרשימה $\ A_{n},B_{n}=C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4}$ , כאשר האינדקס מציין תמיד את הדרגה של הבניין. מטיפוס $\ A_{n}$ יש בניין אחד לכל חוג עם חילוק, שנתאר במפורט בהמשך. מהטיפוסים $\ B_{n}=C_{n}$ , (כאשר $\ n\geq 3$ ) ו- $\ E_{n}$ ( $n=6,7,8$ ) יש בניין אחד לכל שדה. המקרה $\ D_{3}$ מסובך יותר בשל תופעת השילוש (triality). גם הטיפוסים $\ B_{n}=C_{n}$ ו- $\ F_{4}$ מעט יותר מסובכים. נוסף לאלה יש גם דירות (בלי בניינים) מהטיפוסים $\ H_{3},H_{4}$ .

לדירות בבניין ספירי יש כמה תכונות מיוחדות: הדירה מכילה כל גלריה מינימלית המחברת שני חדרים שלה, ועבור כל חדר בדירה יש חדר אנטיפודי יחיד.

אחד המשפטים היסודיים שהוכיח טיץ לבניינים ספיריים הוא שהמבנה המקומי (ה"קשר", link, של הנקודות השונות) קובע את הבניין כולו. תכונה זו אינה נכונה במקרה האפיני.

בניינים מטיפוס A_d

כל דירה בבניין ספירי מטיפוס $A_{3}$ היא קובייה קיסית (אחד מפאוני קטלן)

בנין ספירי מטיפוס $\ A_{d}$ הוא "קומפלקס דגלים" של מרחב פרויקטיבי. כדי לתאר בנין כזה עלינו לבחור מרחב וקטורי (d+2)-ממדי V מעל שדה (או אפילו חוג עם חילוק) F. הקודקודים של הבניין הם תת-המרחבים הלא-טריוויאליים של V (היינו, למעט 0 ו-V עצמו). שני תת-מרחבים מחוברים בקשת אם אחד מהם מוכל בשני, ובאופן כללי התאים ה-i ממדיים הם שרשרות של תת-מרחבים $\ U_{0}\subset U_{1}\subset \cdots \subset U_{i}$ . שרשאות כאלה נקראות דגלים. ממילא, חדר הוא דגל מקסימלי, בהכרח מאורך d. דגל מקסימלי שהשמיטו ממנו תת-מרחב אחד (בממד כלשהו) מהווה קיר. כל דגל אפשר להאריך לדגל מקסימלי. את הגלריה המחברת שני חדרים אפשר לבנות באינדוקציה (הפוכה) על ממד החיתוך שלהם. מכאן שהקומפלקס שתארנו הוא קומפלקס חדרים, והוא עבה מכיוון שדרך כל קיר עוברים q+1 חדרים, כאשר q הוא גודלו של שדה הבסיס F.

כעת נתאר את הדירות בבנין. קבוצה של d+1 מרחבים חד-ממדיים שסכומם הוא V נקראת תבנית; כלומר, יש תבנית יחידה לכל בסיס, עד כדי כפל בסקלר. הקודקודים של דירה הם תת-המרחבים הנפרשים על-ידי תת-קבוצות של תבנית B. החדרים בדירה הם הדגלים המקסימליים של מרחבים כאלה, והם מתאימים לשרשראות מקסימליות של תת-קבוצות של התבנית. לכן, הזוג הכולל דירה עם חדר, קובע תבנית סדורה. בדירה יש $\ d!$ חדרים. גם הדירה היא קומפלקס חדרים, משום שכל שרשרת של תת-קבוצות של B אפשר להמשיך לשרשרת מקסימלית, וקל לבנות גלריה בין חדרים, שכולה מוכלת בדירה המתאימה ל-B. מכיוון שבדירה נתונה אפשר להשלים קיר לחדר בדיוק בשתי דרכים, הדירה היא קומפלקס חדרים דק.

כדי להראות שקיימת דירה המכילה את החדרים $\ U_{0}\subset U_{1}\subset \cdots \subset U_{d}$ ו- $\ U_{0}'\subset U_{1}'\subset \cdots \subset U_{d}'$ , אפשר להתבונן בחיתוכים $\ U_{i}\cap U'_{d+1-i}$ , שבמצב כללי הם כולם חד-ממדיים ובלתי תלויים, ולכן מגדירים תבנית; הדירה השייכת לתבנית הזו כוללת את שני החדרים הנתונים. כדרוש בהגדרה, כל הדירות בבניין איזומורפיות זו לזו. (ואפילו יותר מזה: כל הדירות בבניינים מטיפוס $\ A_{d}$ איזומורפיות זו לזו: דירה בבניין ספירי מטיפוס $\ A_{2}$ היא משושה. דירה בבניין ספירי מטיפוס $\ A_{3}$ היא קוביה קיסית כבאיור משמאל).