חבורה מושלמת

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה $G$ השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, $G'=G$ . במילים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {F} _{5})$ .

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.

הקשר להרחבות אוניברסליות

הרחבה מרכזית של חבורה $G$ היא חבורה ${\hat {G}}$ עם אפימורפיזם ${\hat {G}}\rightarrow G$ שהגרעין שלו מוכל במרכז של ${\hat {G}}$ . הרחבה מהצורה ${\hat {G}}=G\times A$ (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר $A$ אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית $U\rightarrow G$ היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית ${\hat {G}}\rightarrow G$ יש הומומורפיזם $U\rightarrow {\hat {G}}$ ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית $U$ של $G$ היא אוניברסלית אם ורק אם $U$ מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם $G=F/R$ כאשר $F$ חבורה חופשית ו- $R$ חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא $[F,F]/[F,R]$ (ההטלה $[F,F]/[F,R]\rightarrow F/R$ היא על משום ש- $F'R=F$ , שהרי $\,F/R$ מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא $(R\cap [F,F])/[R,F]$ - כופל שור של $G$ . הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה $\operatorname {H} _{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור $K_{2}$ : לכל חוג $R$ , חבורת המטריצות האלמנטריות $E(R)$ היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, $\operatorname {St} (R)$ . הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא $\operatorname {K} _{2}(R)$ .