חבורה מושלמת

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה $$ G $$ השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, $$ G'=G $$ . במילים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {F} _{5})$ .

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.

הקשר להרחבות אוניברסליות

הרחבה מרכזית של חבורה $$ G $$ היא חבורה ${\hat {G}}$ עם אפימורפיזם ${\hat {G}}\rightarrow G$ שהגרעין שלו מוכל במרכז של ${\hat {G}}$ . הרחבה מהצורה ${\hat {G}}=G\times A$ (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר $$ A $$ אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): U \rightarrow G היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית ${\hat {G}}\rightarrow G$ יש הומומורפיזם $U\rightarrow {\hat {G}}$ ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית $$ U $$ של $$ G $$ היא אוניברסלית אם ורק אם $$ U $$ מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם $$ G=F/R $$ כאשר $$ F $$ חבורה חופשית ו- $$ R $$ חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא $$ [F,F]/[F,R] $$ (ההטלה $[F,F]/[F,R]\rightarrow F/R$ היא על משום ש- $$ F'R=F $$ , שהרי $\,F/R$ מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא $(R\cap [F,F])/[R,F]$ - כופל שור של $$ G $$ . הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה $\operatorname {H} _{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור $K_{2}$ : לכל חוג $$ R $$ , חבורת המטריצות האלמנטריות $$ E(R) $$ היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, $\operatorname {St} (R)$ . הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא $\operatorname {K} _{2}(R)$ .